一个有趣的参考文献描述了由于 RNG 不足（尽管他们没有使用 LCG）而导致物理系统的蒙特卡罗模拟失败：

A. Ferrenberg 和 DP 朗道。蒙特卡罗模拟：来自“好”随机数生成器的隐藏错误。物理评论快报 63(23):3382-3384, 1992。

Ferrenberg 和 Landua 研究的 Ising 模型是对 RNG 的良好测试，因为您可以与一个精确的解决方案（对于二维问题）进行比较，并找出数字中的错误。这些模型应该毫不费力地显示老式 32 位算术 PMMLCG 中的故障。

另一个有趣的参考是：

H. Bauke 和 Stephan Mertens。伪随机硬币正面多于反面。arXiv:cond-mat/0307138 [cond-mat.stat-mech]

Bauke 和 Mertens 强烈反对二进制线性反馈移位寄存器式随机数生成器。Bauke 和 Mertens 还有一些与此相关的其他论文。

在 3D 散点图中很难找到 Marsaglia 平面。您可以尝试旋转绘图以获得更好的视图，有时它们会突然出现在您身上。您还可以进行统计一致性的 3D 测试——对于较旧的 32 位 LCG，这些测试将在数量很少的 bin 中失败。例如，在 3 维中使用 20x20x20 的网格网格进行均匀性测试足以检测到广泛使用的（并且以前备受推崇的）PMMLCG 缺乏均匀性，其中 m=2^31-1, a=7^5。

可以使用PRNG 测试的 TestU01 套件来找出哪些测试rand失败。（有关测试套件的概述，请参阅TestU01：用于随机数生成器实证测试的 AC 库。）这比提出自己的蒙特卡洛模拟要容易。在某种程度上，这也是软件可组合性（和软件正确性）的问题：假设 PRNG 在小型、简单的测试中运行良好，你怎么知道它的病态行为不会被更大的程序触发？

这是代码：

#include "TestU01.h"

int main() {
  // Same as rand() on my machine
  unif01_Gen* gen = ulcg_CreateLCG(2147483647, 16807, 0, 12345);

  bbattery_SmallCrush(gen);
  bbattery_Crush(gen);

  return 0;
}

对于SmallCrush套件，15 次测试中有 3 次失败（请参阅 TestU01中的 guidelongtestu01.pdf 以获得详细描述和所有参考资料；这些是来自 10 次测试的 15 次统计）。

• 生日间距：bin$n$ $t$维向量成$d^t$垃圾箱，生成$d^t$垃圾箱计数，$I_1,\ldots$, 那么之间的碰撞次数$\{I_{j+1}-I_j\}$遵循近似已知分布。

• 碰撞：生成$n$ $t$维向量$[0,1)^t$, 将它们放入$d^t$相等的超立方体，并计算碰撞次数。

• MaxOft：生成$n$团体$t$中的值$[0,1)$, 计算最大值$X$并比较各组的分布情况$n$ 具有理论分布的最大值$\mathbb{P}(X<x) = x^t$; 值是$n=2\times 10^6$,$t=6$. 通过卡方检验和 Anderson-Darling 检验进行比较：$\chi^2$测试失败，p 值$<10^{-300}$，而 AD 测试通过（此 AD 测试在 Crush 中一些较大的类似测试中失败）。

假设这些都是“典型的”蒙特卡洛模拟（尽管它们可能不像您想到的问题），结论是它们中的 rand一些未知子集失败了。不过，我不知道为什么它特别是那个子集，所以我不可能说它是否适用于你自己的问题。

MaxOft似乎特别可疑，因为描述如此简单。

在Crush套件中的测试中，140 次测试中有rand51 次失败（96 次测试中的 140 次统计）。一些失败的测试（如Fourier3）是在位串上完成的，所以它们可能与您无关。另一个失败的奇怪测试是GCD，它测试两个随机整数的 GCD 的分布。（同样，我不知道为什么这个特定的测试会失败，或者你的模拟是否会受到影响。）

PS：还有一点需要注意的是，rand()它实际上比一些成功通过所有SmallCrush、Crush、BigCrush测试的 PRNG 慢，例如MRG32k3a（参见上面的 L'Ecuyer & Simard 论文）。