在一维中，您可以使用替换积分将无限区间映射到有限区间，例如

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$$

其中$u(x)$是在某个有限范围内趋于无穷大的函数，例如$\tan(x)$：

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$$

然后，您可以对修改后的有限积分使用任何常规数值求积例程。

多个变量的替换有点棘手，但这里有很好的描述。

的表达式中提取一个指数预因子，将其转换为，然后使用高斯正交规则（或高斯 Kronrod）作为权重。如果是平滑的，这通常会产生出色的结果。$f(x)$$e^{-x^2}$$f$

在中，同样适用于权重，并且可以找到适当的容积公式，例如，在 Engels 的书中，数值求积和容积。$R^3$$e^{-|x|^2}$

在线公式位于http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

对于一维求积，您可以查看有关Quadpack的书（这是一本经典的老歌，但仍然与一维求积非常相关）以及算法 QAGI 中使用的技术，这是一种无限范围的自动积分器。

另一种技术是双指数求积公式，Ooura 很好地实现了无限区间。

对于容积，您可以查阅Ronald Cools的容积公式百科全书。

如果您还记得求积是如何工作的，那么您还将知道一种近似无限积分的方法。即：对于求积，你用类似的东西来近似你想要积分（或分段多项式），你可以分析地写下积分。你得到从通过插值点插值 - 这将是你的正交点。$f(x)$$\tilde f(x)$$\tilde f$$f$

对于无限积分，一种方法使用完全相同的想法。例如，您可以尝试使用更简单的函数在整行上与插值的多项式在多个点上。然后有计算积分的简单公式。插值点的选择遵循与通常的正交推导类似的逻辑。$f(x)$$\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$$p(x)$$f(x)e^{x^2}$$\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$