根据最大特征值所需的精度，您可以尝试使用Power Iteration。

对于您的具体示例，我会尽量不明确地形成，而是在每次迭代中计算需要操作，而矩阵向量积只需要。$A=XX^\mathsf{T}$$x \leftarrow X(X^\mathsf{T}x)$$A$$\mathcal O(n^3)$$\mathcal O(n^2)$

收敛速度取决于最大的两个特征值之间的分离，因此这可能不是所有情况下的好解决方案，

如果只有 5 个特征值非常显着，Lanczsos 算法与$X(X^Tx)$因为矩阵向量乘法应该在 5 个初始步骤后给出快速的线性收敛，因此具有相当准确的最大特征值，迭代次数很少。

对于半正定矩阵，例如$A = XX^T$通过频谱转移加速收敛可能是值得的。也就是说，一个合适的标量$\mu$选择和功率方法应用于$A - \mu I$代替$A$.

基本功率方法的几次迭代应该会给你一个粗略的估计$||Ax||/||x||$最大特征值$\lambda_1$. 假设主要特征值具有多重性 1 并且所有其他特征值都在$[0,\frac{5}{6} \lambda_1]$， 然后$A - \frac{5}{12} \lambda_1 I$将有一个最大的特征值$\frac{7}{12} \lambda_1$其余的在$[\frac{-5}{12} \lambda_1, \frac{5}{12} \lambda_1]$.

换句话说，您会将最大特征值的优势从下一个最大特征值的 20% 增加到下一个最大特征值（一个绝对值）的 40%。幂法的几何收敛会相应加快。一旦最大特征值$A - \mu I$被发现有足够的准确性，$\lambda_1$通过加回班次来估计$\mu$那已经被拿走了。

请注意，您不需要明确地形成$A - \mu I$因为$(A - \mu I)x = X(X^Tx) - \mu x$仍然可以计算$O(n^2)$努力。