您可以使用移位反转频谱变换 [1] 并逐个频带计算频谱。

我的文章 [2] 中也解释了该技术。除了 [1] 中的实现之外，我的 Graphite 软件 [3] （1 月 17 日更新：现在所有内容都移植到 geogram/graphite 版本 3）中的 C++ 中提供了一个实现，我用它来计算拉普拉斯算子的特征函数具有多达 100 万个顶点的网格（与您的问题类似）。

怎么运行的：

这个想法是，如果是可逆的，那么如果是的特征对，是的特征对。ARPACK 中的迭代方法对于计算大特征值（高频）非常有效，但对于小特征值（小频率）则效率低得多。因此，当需要计算小频率时，将替换为是一个好主意。现在，由于 ARPACK 只需要计算矩阵向量乘积，因此不需要真正反转：可以改为分解它（例如使用稀疏 LU 或稀疏分解），然后求解$A$$(V,\lambda)$$A$$(V, 1/\lambda)$$A^{-1}$$A$$A^{-1}$$A$$LL^t$$Ax=b$每当 ARPACK 要求矩阵向量乘积时。这是“反转”变换。现在，当特征值的数量变大时，ARPACK 变得很慢，但是可以使用另一种技巧/变换，计算的特征值，其中是确定哪一部分的“移位”频谱的探索（这是“移位”变换）。结合这两种变换，计算一定数量的逐个频带探索整个频谱。详细信息在 [1],[2] 中。$A - \sigma Id$$\sigma$$(A-\sigma Id)^{-1}$$\sigma$

[1] http://www.mcs.anl.gov/uploads/cels/papers/P1263.pdf

[2] http://alice.loria.fr/index.php/publications.html?redirect=0&Paper=ManifoldHarmonics@2008

[3] http://alice.loria.fr/software/graphite/doc/html/

另一种选择是使用 Jacobi 旋转。由于您的矩阵已经几乎是对角线，因此收敛应该不需要太多时间。通常它以线性速率收敛，但经过足够多的迭代后，收敛速率变为二次的。