我想为可压缩欧拉方程编写自己的求解器，最重要的是我希望它在所有情况下都能稳健地工作。我希望它是基于 FE 的（DG 可以）。有哪些可能的方法？
我知道做 0 阶 DG（有限卷），它应该工作得非常稳健。我已经实现了一个基本的 FVM 求解器，效果很好，但是收敛速度很慢。但是，这绝对是一种选择。
我已经为线性欧拉方程实现了一个有限元求解器（适用于任何网格和任何元素上的任何多项式阶数），但是我得到了虚假的振荡（最终它会爆炸，所以我不能使用它来解决我的问题）和我在文献中读到需要稳定它。如果我实施一些稳定化，这对所有问题（=边界条件和几何）是否有效？收敛速度会是多少？
除此之外，欧拉方程是否还有其他稳健的方法（即具有一定稳定性的高阶 DG）？
我知道很多人在他们的研究代码中尝试了很多不同的东西，但我对适用于所有几何和边界条件的稳健方法感兴趣（编辑：2D 和 3D）。
求解非线性一阶双曲偏微分方程系统（如欧拉方程（用于可压缩、无粘性流动））的主要数值困难在于，即使初始数据是平滑的，在有限时间后解中也会出现不连续性（冲击波）。为了解决这个问题，大多数现代代码同时使用
存在结合了限制器和黎曼求解器的有限差分 (FD)、有限体积 (FV) 和有限元 (FE) 离散化，它们都可以变得非常精确，至少远离冲击。因此，断然地说 FE 方法比 FV 方法收敛得更快是没有意义的——如果使用可比较的阶离散化，它们将具有可比性。
在 FE 方法中，不连续的 Galerkin 方法在这里最合适，因为解实际上是不连续的。如果你想实现自己的，我建议你阅读这篇评论论文并获得一份Hesthaven & Warburton 的文本以了解基础知识。然后有很多关于可压缩流动的 DG 论文。
如果你愿意使用别人的代码，而且我知道你使用 Python，你可以看看Andreas Kloeckner 的 Hedge 代码，它有一个 Python 接口并且可以在 GPU 上运行。可能还有其他好的 DG 代码可用，以及许多好的 FV 代码（例如Clawpack，它也有Python 接口）。
还有更新的高阶方法，例如光谱差异。有关最近的观点，请参见Cheng & Shu 2009，CFD 的高阶方案：回顾或Ekaterinaris 2005，空气动力学的高阶精确、低数值扩散方法。