计算科学 - 具有已知边界的多维积分的数值积分 - 吾爱随笔录

具有已知边界的多维积分的数值积分

计算科学蒙特卡洛正交

2021-11-25 02:31:48

我有一个（二维）不正确的积分

I = \int_{A} \frac{W (x, y)}{F (x, y)} d x d y

$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$

集成域在哪里 $A$ 小于 $x=[-1,1]$ , $y=[-1,1]$ 但进一步受到限制 $F(x,y)>0$ . 自从 $F$ 和 $W$ 光滑且 $W \ne 0$ 在边界处，后面的关系意味着被积函数在边界处可以是奇异的。被积函数是有限的。到目前为止，我使用嵌套数值积分来计算这个积分。这是成功的，但很慢。我搜索了一种更合适（更快）的方法来解决积分问题，也许是蒙特卡洛方法。但是我需要一个不将点放在非三次域 A 的边界上并正确地取不正确积分的极限。积分变换可以帮助这个一般表达式吗？注意我可以解决 $F(x,y)$ 为了 $y$ 作为一个函数 $x$ 甚至计算 $I$ 对于一些特殊的权重函数 $W(x,y)$ .

3个回答

免责声明：我的博士论文是关于自适应正交的，所以这个答案将严重偏向我自己的工作。

GSL 的 QAGS 是旧的QUADPACK积分器，它并不完全稳健，尤其是在存在奇点的情况下。这通常会导致用户要求的准确度比他们实际需要的多得多，从而使集成变得非常昂贵。

如果您使用 GSL，您可能想尝试我自己的代码CQUAD，在本文中进行了描述。它旨在处理区间边缘和域内的奇点。请注意，误差估计非常可靠，因此只要求您实际需要的数字。

关于蒙特卡洛积分，这取决于您正在寻找什么样的准确性。我也不太确定它在奇点附近的效果如何。

蒙特卡洛方法通常无法与自适应求积法竞争，除非您有一个高维积分，而您无法承受求积点与维度的组合爆炸。

原因比较容易理解。举个例子，只是 $\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$ 在哪里 $n$ 是问题的维度。假设为简单起见，您将每个维度细分为 $M$ 子区间，即，你得到 $M^n$ 超立方体细胞总数。让我们进一步假设您使用高斯公式 $k$ 高斯点，只是一个例子。然后你有 $N=(kM)^n$ 总交点，并且因为 $k$ 高斯点为您提供秩序 $(2k-1)$ 准确性， $e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$ ，您作为评估点函数的整体准确度将是

e = O (N^{- (2 k - 1) / n}) .

$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$ 另一方面，蒙特卡洛方法通常只为您提供误差收敛，因为

e = O (N^{- 1 / 2})

$e = {\cal O}(N^{-1/2})$ 这比任何高斯公式都差，至少

k > n / 4 + 1 / 2

$k>n/4+1/2$ 每个间隔的点数。原因相对容易理解：高斯求积以某种智能方式选择插值点，而蒙特卡洛则不然。你不能指望后者会带来任何有用的东西。（当然，在某些情况下高斯正交很困难：例如，在积分域形状不规则的情况下；但在这种情况下，您最好还是进行自适应积分或类似的积分。）

现在，每个区间超过 8 或 10 个点的积分存在实际（稳定性）问题。所以如果你想 $k\le 8$ ，那么你不能超越 $n=30$ . 另一方面，在这种情况下，即使每个方向选择一个间隔（ $M=1$ ) 产量 $N=8^{30}$ 集成点，远远超过您一生中所能评估的。换句话说，只要您可以评估足够多的集成点，对集成域的细分进行求积总是更有效的方法。在这种情况下，您有一个高维积分，您甚至无法再评估单个细分上的积分点，尽管人们使用蒙特卡洛方法，尽管它们的收敛顺序更差。

尝试嵌套的双指数正交（参见Ooura的实现）。该技术使用变量变换，使变换后的被积函数在边界处表现得非常平滑，并且对于处理边界处的奇点非常有效。在他的网站上也有一个很好的 DE 正交参考列表。

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