在您展示的情况下，解决方案具有边界层。如果由于网格太粗糙而无法解决它，那么对于所有实际问题，解决方案对于数值方案都是不连续的。

现在，如果你只是对这个问题应用标准离散化，离散解是对精确解应用线性投影算子的结果，投影到有限维空间。这实际上与例如取傅里叶级数的前项没有什么不同。但是当你把它应用到一个不连续的函数上时，你知道会发生什么：你会得到吉布斯现象，有上冲和下冲。这里的情况确实没有什么不同，任何线性方案都会发生这种情况。$N$

基本上有两种方法可以解决这个问题： (i) 添加人工扩散，即添加与网格大小成正比的扩散项；这会将边界层的大小增加到可以由网格表示的宽度，但它会返回到作为。(ii) 您使用非线性投影方案；双曲线文献有许多这样的方案，例如，冲击捕获、斜率限制等。$\varepsilon$$h\rightarrow 0$

TL;DR：你的选择是有限的 1）去蛮力自适应精确和昂贵的解决方案 2）使用数值扩散来获得不太准确但稳定的解决方案或（我最喜欢的）3）利用这是一个奇异扰动问题的事实并解决两个便宜的内部/外部问题，让匹配的渐近线发挥它的魔力！

如果您真的必须获得问题的统一数值解，那么除了自适应网格细化之外，您真的无能为力。您正面临一个奇异的扰动问题，该问题会产生厚度的边界层$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$边界附近。该边界层将内部和外部解决方案分开。

更准确地说，考虑左边界，其中$x = \mathcal{O}(\delta)$. 在这个区域，可以通过使用拉伸坐标重新调整方程$\eta = x/\delta$，对于内部解决方案：

受边界条件影响$u(0) = 0$和$u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$. 对于外部解决方案，$u_o$, 假设$x = \mathcal{O}(1)$因此主要的平衡是$u$和$1$这只是给出$u_0 = 1$. 使用手头的外部解决方案，您现在可以轻松地解决正则化内部解决方案 - 在这种情况下甚至可以解析。

这实际上是过去（现在仍然是）非常流行的用于解决流体力学中层流边界层问题的技术。事实上，如果你看一下 Navier-Stokes 方程，在高雷诺数下，你实际上面临着一个奇异的扰动问题，就像你在这里提到的那样，会产生一个边界层（有趣的事实：扰动中的术语“边界层”分析实际上来自我刚才描述的流体边界层问题）。

因此，在计算资源非常有限的时代，典型的做法是将外部问题和内部问题分开。对于外部，首先要解决势流（类似于$u_0 = 1$这里）和内部的边界层方程！如果您要在单个计算域中一次解决整个问题，那么所有这些都不需要花哨的自适应方法。