复内积有两个由约定决定的不同定义：或。在 BLAS 中，我找到了例程, , 和, 。前两个例程实际上计算（一个假内积！），后两个例程共轭内积中的第一个向量。此外，根据任一定义（共轭或），与共轭！此外，正如评论中所指出的，为多值复杂函数选择主值可能取决于约定。cdotuzdotucdotczdotc
我的问题是：这种复杂性是否会对在科学计算中使用复杂算术造成真正的危险？deal.ii 的作者强调了这个问题，他们建议始终将复数拆分为实部和虚部，并仅使用实数算术。但是我从来没有发现拆分方法很方便。例如，考虑时谐麦克斯韦方程组的完美匹配层(PML) 。
除了 FreeFem++ 和 libmesh 之外，大多数开源 FEM 软件似乎都普遍存在使用复数的担忧。但即使对于这两个例外，复数算术的测试也比实数少。
我的最后一个问题是：我们应该总是避免使用复数吗？
您说复数算术的问题在于，与实际情况中的一种方法相比，有不同的方法来定义复数向量的标量积。我认为复杂标量积的真正问题是另一个问题，但是，这与您的观察密切相关。
在复数算术中，标量积的参数顺序确实很重要，而在实数算术中则无关紧要。许多算法在复数和实数算术中基本相同，这意味着您只需编写一次它们，然后使用相同的代码进行复数和实数算术。（例如，在 C++ 中，您可以为此目的使用模板。）当您编写完代码后，通常会对其进行测试。要发现某些标量积中的参数排序错误，您必须使用复值测试用例来测试您的代码。
当您有复杂值问题的工作代码时，您通常会免费获得算法的实值代码。当您使用复数值测试用例测试您的代码时，该代码通常对于实数也是正确的。然而，将实值代码转换为复杂代码需要额外的工作。因此，对于实值问题，与复杂值问题相比，只有更多的代码可以工作（并且经过全面测试）。
我的问题是：这种复杂性是否会对在科学计算中使用复杂算术造成真正的危险？
我会用以下方式说“是”。当代码没有针对复值问题进行很好的测试时，代码中出现错误的可能性更高，但这取决于您正在查看的具体代码。当代码经过良好测试时，没有问题。
我的最后一个问题是：我们应该总是避免使用复数吗？
正如已经指出的，有些问题无法用实数解决。例如，计算非对称矩阵的特征值。因此，我们需要复杂的算术。