我的一些研究涉及求解大规模随机偏微分方程。在这种情况下，感兴趣的积分的传统蒙特卡罗近似收敛速度太慢，以至于它在实际意义上不值得......即我不想为了获得小数点的准确性而运行 100 倍以上的模拟到积分。相反，我倾向于使用其他方法，例如稀疏 smolyak 网格，因为它们在更少的函数评估中提供更好的准确性。这只是可能的，因为我可以假设函数具有一定程度的平滑性。

可以合理地推测，如果您期望要积分的函数具有一定的结构（如平滑度），最好使用利用它的准蒙特卡洛方案。如果你真的不能对函数做出很多假设，那么 monte carlo 是我能想到的唯一处理它的工具。

蒙特卡罗模拟是计算电子散射的首选方法。有时会使用重要性采样等技巧，因此您可能会说这不是普通的旧蒙特卡洛。但要点可能是这里模拟了一个固有的随机过程，而您只询问使用蒙特卡洛进行积分。

因为没有其他人试图提供答案，所以让我尝试扩展一下我的答案。假设我们有一个电子散射模拟，其中只计算一个数字，如反向散射系数。如果我们将其重新表述为多维积分，它可能是一个无限维积分。另一方面，在单个轨迹的模拟过程中，只需要有限数量的随机数（如果考虑到二次电子的产生，这个数字会变得非常大）。如果我们要使用像拉丁超立方体采样这样的准随机序列，我们将不得不使用具有固定维数的近似值，并为每个样本点的每个维生成一个随机数。

所以我认为区别在于是否采样了某种高维单位超立方体，而不是原点周围的无限维概率云。

在 Kocis 和 Whiten 的论文中讨论了传统蒙特卡洛积分相对于准蒙特卡洛积分的优势。他们列出了以下原因：

• qmc 方法的误差界限$\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$“理论上”比$\mathcal{O}(N^{-1/2})$由朴素的蒙特卡洛给出的界限。但是，对于$N$在当前硬件上可以在合理的时间内实现，$\mathcal{O}(N^{-1/2})$是更好的选择$d \approx 40$. （Kocis 和 Whiten 写于 1997 年，所以大概$d$从那以后有所增加。）

• QMC 积分的误差受 Koksma-Hlawka 不等式的约束

  $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ 在哪里$V[f]$是的变化$f$和$D_{N}^{*}$是差异的明星。但引用 Kocis 的论文，

  不幸的是，现有序列的理论差异界限不适用于中等和较大的 s 值。另一种选择，对大 s 序列的星差异进行数值评估，需要过多的计算工作，即使是对这种差异的合理数值估计也很难获得。

  使用传统的蒙特卡洛积分，我们可以指定一个错误目标并等待，因为错误界限很容易计算。使用 QMC，我们必须指定一些函数评估，并希望错误在我们的目标范围内。（请注意，有一些技术可以克服这一点，例如随机准蒙特卡洛，其中使用多个准蒙特卡洛估计来估计误差。）

• 由于我们实际上拥有的许多低差异序列的误差范围的“常数项”随着维度呈指数增长，因此 Kocis 和 Whiten 使用另一个度量来估计误差：样本点之间的最大距离。这给出了一个误差估计$\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$，他们声称它符合观察到的许多被积函数的行为。

• 准蒙特卡洛要击败传统蒙特卡洛，被积函数必须具有“低有效维数”。请在此处查看 Art Owen 关于此主题的论文。