在最近的问题Solving system of 7 个非线性代数方程symbolically中，Brian Borchers 通过实验证实 Maple 可以求解 Matlab/Mupad 无法处理的多项式系统。过去我从该领域的工作人员那里听说 Maple 对 Gröbner 基和相关算法有一个高质量的实现（我认为这是这里使用的）。
所以我很想建议“Matlab 在这类问题上很慢，改用 Maple”，但我想有数据来支持这个说法。
是否有一组基准结果比较不同计算机代数系统中 Gröbner 基实现和多项式系统解决方案的速度和有效性？（Maple、Mathematica、Matlab 的符号工具箱等）。
我在这里发布了一些基准： http ://www.cecm.sfu.ca/~rpearcea/mgb.html （存档副本）
这些是针对总学位订单的。要解决系统问题，您通常需要做更多的工作。时间是针对 2015 年的典型中端台式机（Haswell Core i5 四核）。
单核上最快的系统是 Magma，它使用浮点算法和 SSE/AVX。Magma 是最强大的系统，因为它很好地实现了 FGLM 和 Groebner walk（未测试）。这些算法用于将总度数基础转换为具有三角形形式的字典基础。然后，您通常会将多项式分解为最低变量。
mgb 是 Maple 2016 中的 C 库，它实现了总度数和消除顺序的 F4 算法。当它使用多核时，其性能可与 Magma 相媲美。
FGb 是 Faugere 对 F4 的实现。这里测试的版本来自他的网站，比 Maple 中的版本快。
Giac 是一个具有 F4 实现的开源系统。有一篇论文描述它http://arxiv.org/abs/1309.4044
Singular 是一个开源系统，用于代数几何中的许多计算。这里的基准测试使用“modStd”，它是 Buchberger 算法的多模块版本。您可以看到 Buchberger 算法与 F4 没有竞争力。基本原因是 F4 摊销了所有单项式操作的成本。除此之外，Singular 对 FGLM 和 Groebner Walk 以及其他对求解有用的算法有相当好的实现。
谷歌搜索benchmark polynomial systems导致了一些成功，包括曼海姆大学的计算机代数基准计划。可悲的是，其中大多数都已过时或已失效。最活跃的似乎是SymbolicData Wiki，但据我所知，它只收集基准问题，而不是基准结果。
Axiom、Macsyma、Maple、Mathematica、MuPAD 和 Reduce 求解多项式系统的一些比较（可追溯到 1996 年）可以在Hans-Gert Gräbe，关于 Axiom、Macsyma、Maple、Mathematica、MuPAD 的多项式系统求解工具中找到，和减少，预印本 11/96 des Instituts für Informatik，德国莱比锡大学，1996 年 12 月。结论是 Axiom、Maple 和 Reduce 获胜是因为他们使用了 Gröbner 基地（其他人此时没有），Maple 稍微领先于其他人。
SINGULAR 网站上还有一个旧比较，显示 SINGULAR 2.0（截至 2015 年 12 月为 4.0.2）击败 Maple 等。
另一方面，最近的出版物（Yao Sun、Dongdai Lin 和 Dingkang Wang。2015。关于使用 M4RI 的线性代数例程实现基于签名的 Gröbner 基算法。ACM Commun. Comput. Algebra 49, 2（2015 年 8 月） , 63-64比较了作者对 Gröbner 基算法的实现与 Maple、Singular 和 Magma 的实现，其中 Magma 比其他两个包快一个数量级（并且与作者的实现并列）。
因此，它似乎很大程度上取决于问题（大小和结构）以及哪个软件包最快的软件版本。尽管如此，使用积极开发的专用计算机代数系统（如 Singular、Magma 或 Maple）而不是通用符号计算软件的建议是合理的。这对于数字软件中的工具箱来说是双倍的，这增加了另一个级别的开销，并且通常是它们所基于的独立软件（MuPAD，以前的 Maple，在 Matlab 的工具箱的情况下）之后的几个版本。
永远记住，除了问题的大小之外，任何基准测试的结果都取决于定义多项式环的基域（有理数或整数模素数的某个幂）。
FGb 库是 F5 算法的积极开发和高性能实现。可以在以下位置找到将 FGb 与 Magma 进行比较的基准：
Faugère, J.-C. （2010）。FGb：计算 Gröbner 基的库（第 84-87 页）。doi:10.1007/978-3-642-15582-6_17