一个更好的看待它的方法是，对于一个僵硬的问题，任何稳定的显式计算都会导致一个比所需的容错小得多的误差。

有许多使用显式方案自动检测刚度的好方法，尤其是嵌入式 Runge-Kutta 对。参见例如：

• 使用 Fehlberg (4, 5) 公式检测刚度
• 显式龙格-库塔方法的主谱刚度检测和估计
• 显式龙格库塔方法的刚度检测策略

在 faleichik 的第二个例子中，随着步长的减小，当超过稳定的时间步长阈值时，人们会看到误差突然急剧下降到远低于典型所需容差的水平。因此，一个好的误差估计器确实会揭示问题的刚性。在第一个问题中，以稳定步长获得的误差将在典型的所需公差范围内，表明非刚度。

因此，请注意，如果需要足够严格的容错能力，任何问题都会变得不那么僵硬。

1. 我们能否仅通过应用显式方法在数值上检测刚度？

• 假设您对某个 ODE 存在初始值问题$[0,10]$. 你采取相当大的步长$\tau=1$和一个显式的欧拉方法，以恒定的步长进行计算 $\tau$并获得以下几点：

  

  您估计错误，它似乎很大。好，那你拿 $\tau=0.1$并获得

  误差估计现在是可以接受的。一步的大小$\tau=0.1$相对较小$[0,10]^\star$.

  那么，这个问题很棘手吗？答案是否定的！这里需要小步长来正确再现解的振荡。

  我们解决的问题是

  $$y'(t)=-2\cos \pi t,\quad y(0)=1.$$

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• 现在你在相同的时间间隔内取另一个 ODE，$\tau=1$和显式欧拉给你几乎相同的数值解：

  

  你拿$\tau=0.1$现在数值解是

  

  现在的误差估计很小。一步的大小$\tau=0.1$相对较小$[0,10]^\star$.

  这个问题是硬的吗？是的！我们已经采取了非常小的步骤来重现变化非常缓慢的解决方案。这是不合理的！这里时间步长的大小受到显式欧拉的稳定性属性的限制。

  这个问题是

  $$y'(t)=-2 y(t)+\sin t/2,\quad y(0)=1.$$

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$^\star$请注意，如果我们采用更长的积分间隔，​​步长的数量可能会更大。

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结论：有关时间步长和相应误差的信息不足以检测刚度。您还应该查看获得的解决方案。如果它变化缓慢并且步长非常小，则问题很可能是僵硬的。如果解决方案快速振荡并且您信任您的误差估计技术，那么这个问题并不难解决。

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2.如何确定允许将刚性问题与显式方法集成的最大步长？

如果您使用一些带有自动步长控制的黑盒显式求解器，那么您无需做任何事情：该软件将自适应地采用所需的步长。

但是假设您想手动获得具有恒定步长的解决方案，或者只是想估计您应该等待多少小时，直到您的显式方法解决问题。然后你应该知道你的雅可比矩阵的频谱。假设它是真实的并且存在于$[\Lambda,0]$（在你的例子中$\Lambda=-1000$）。

然后，您应该计算显式方法的实际稳定性区间（复杂情况下的稳定性域）。这不是太难，您只需查阅有关此主题的任何教科书即可。在显式欧拉的情况下，这个区间是$[-2,0]$. 现在，如果你想让你的解决方案不爆炸，你应该采取$\tau$这样$\Lambda\tau$在于稳定区间，即在我们的例子中

$$\tau\leq \frac{2}{|\Lambda|}.$$

如果你想要更多的一致性，你应该采取

$$\tau\leq \frac{1}{|\Lambda|},$$ 因此$1/|\Lambda|<\tau \leq 2/|\Lambda|$您的解决方案很可能会产生不自然（但逐渐消失）的振荡。

当然，这种分析主要适用于已知频谱的线性问题。对于更实际的问题，我们应该依靠刚度检测的数值方法（参见其他答案中的参考资料和评论）。

要回答您的问题：

1. 据我所知，在实践中，如果显式方法需要相对于您感兴趣的时间尺度非常小的时间步长（请参阅这个问题的答案，了解 ODE 变得僵硬意味着什么）才能产生准确的结果，那么对于所有的意图和目的，你的问题是僵硬的。要确定对步长的要求，请依赖专家编写的众多库之一（MATLAB 套件就是一个例子，还有 SUNDIALS、VODE、DASPK、DASSL、LSODE 等），它们具有自适应时间步进启发式。SUNDIALS 手册解释了他们用来确定包所用时间步长大小的决策规则，并为您提供了在实践中使用的规则示例。

2. 同样，我会在实践中使用具有自适应时间步进的库，因为这样做更有效。但是，如果您自己编写一个方法，使用固定的步长，如果您注意到大的振荡，或者您的解决方案“爆炸”，那么您会怀疑您的时间步长太大，并减少它。重复，直到你得到一个行为合理的数值解。像 Ascher 和 Petzold 以及 Hairer 和 Wanner 这样的教科书就是这种现象的好例子。