我正在尝试对一些密集的病态矩阵进行对角化。在机器精度方面，结果不准确（返回负特征值，特征向量不具有预期的对称性）。我切换到 Mathematica 的 Eigensystem[] 函数以利用任意精度，但计算速度非常慢。我愿意接受任何数量的解决方案。是否有非常适合病态问题的包/算法？我不是预处理方面的专家，所以我不确定这有多大帮助。否则，我能想到的只是并行的任意精度特征值求解器，但我不熟悉 Mathematica、MATLAB 和 C++ 之外的任何东西。
为了提供有关该问题的一些背景知识，矩阵很大，但不是很大（最多 4096x4096 到 32768x32768）。它们是实数、对称的，特征值在 0 和 1 之间（不包括），许多特征值非常接近 0，没有一个接近 1。矩阵本质上是一个卷积算子。我不需要对所有矩阵进行对角化，但我可以走的越大越好。我可以访问具有许多处理器和分布式计算能力的计算集群。
谢谢
计算 SVD 代替谱分解。结果在精确算术中是相同的，因为您的矩阵是对称正定矩阵，但在有限精度算术中，您将获得更准确的小特征值。
编辑：参见 Demmel 和 Kahan，双对角矩阵的准确奇异值，SIAM J. Sci。统计。计算。11 (1990), 873-912。
ftp://netlib2.cs.utk.edu/lapack/lawnspdf/lawn03.pdf
编辑2；请注意，没有任何方法能够解析小于所用机器精度的标准倍的特征值，因为将单个条目更改一个 ulp 可能已经将一个小的特征值更改了这么多。因此，用零特征值代替非常小的特征值是合适的，并且没有任何方法（除了以更高的精度工作）将解开相应的特征向量，而只是返回公共数字零空间的基础。
谢谢你的建议。我尝试了 Mathematica 的 SVD 命令，但没有得到明显的改进（仍然缺少适当的对称性，“特征值”错误地为零，而之前错误地出现负数）。也许我需要实现您上面描述的算法之一，而不是内置函数？我可能希望避免使用这种特定方法的麻烦，除非我提前确定它会提供显着的改进。
@JackPoulson，我浏览了有关您引用的 Jacobi 方法的论文，它看起来很有希望。您或任何人能否推荐一种实施 Jacobi 寻找特征系统方法的好方法？我猜如果我自己编写代码（在 MATLAB 中），它会非常慢。