计算科学 - 不连续 Galerkin / Poisson / Fenics - 吾爱随笔录

不连续 Galerkin / Poisson / Fenics

计算科学 pde 有限元芬尼克斯

2021-12-10 06:07:27

我正在尝试使用不连续 Galerkin 方法 (DG) 和以下离散化来求解 2D Poisson 方程（我有一个 png 文件，但我不允许上传它，抱歉）：

方程：

\nabla \cdot (κ \nabla T) + f = 0

$\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0$

新方程：

q = κ \nabla T \nabla \cdot q = - f

$q = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f$

具有数值通量的弱形式 $\hat{T}$ 和 $\hat{q}$ ：

\int q \cdot w d V = - \int T \nabla \cdot (κ w) d V + \int κ \hat{T} n \cdot w d S \int q \cdot \nabla v d V = \int v f d V + \int \hat{q} \cdot n v d S

$\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV + \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV = \int v f dV + \int \hat{q} \cdot n v dS$

数值通量（IP 方法）：

\hat{q} = {\nabla T} - C_{11} [T] \hat{T} = {T}

$\hat{q} = \{\nabla T\} – C_{11} [T]\\ \hat{T} = \{T\}$

与

{T} = 0.5 (T^{+} + T^{-}) [T] = T^{+} n^{+} + T^{-} n^{-}

$\{T\} = 0.5 (T^+ + T^-)\\ [T] = T^+ n^+ + T^- n^-$

我写了一个简单的 fenics python 脚本来解方程。我得到的解决方案并不好。如果熟悉 DG 方法的人可以快速查看下面的脚本并告诉我我做错了什么，我将不胜感激。

我在脚本中添加的连续 galerkin 公式提供了一个很好的解决方案。

提前非常感谢。

from dolfin import *

method = "DG" # CG / DG

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquare(32, 32)
V_q = VectorFunctionSpace(mesh, method, 2)
V_T = FunctionSpace (mesh, method, 1)
W = V_q * V_T

# Define test and trial functions
(q, T) = TrialFunctions(W)
(w, v) = TestFunctions(W)

# Define mehs quantities: normal component, mesh size
n = FacetNormal(mesh)

# define right-hand side
f = Expression("500.0*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")

# Define parameters
kappa = 1.0

# Define variational problem
if method == 'CG':
  a = dot(q,w)*dx \
       + T*div(kappa*w)*dx \
       + div(q)*v*dx

elif method == 'DG':
  #modele = "IP"
  C11 = 1.

  a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
      - kappa*avg(T)*dot(n('-'),w('-'))*dS \
                                           \
      + dot(q,grad(v))*dx \
      - dot( avg(grad(T)) - C11 * jump(T,n) ,n('-'))*v('-')*dS

L = -v*f*dx

# Compute solution
qT = Function(W)
solve(a == L, qT)

# Project solution to piecewise linears
(q , T) = qT.split()

# Save solution to file
file = File("poisson.pvd")
file << T

# Plot solution
plot(T); plot(q)
interactive()

2个回答

要在 FEniCS 中解决您的问题，您必须将边界方面的积分替换为边缘方面的积分。这在测试函数中引入了跳跃/平均，您在实现中完全错过了这些。因此，系统不可逆，您的解决方案看起来不正确。Arnold 等人的方程 (3.3)。人。2002 为您提供了一个重写弱形式的工具：

\sum_{K \in T_{h}} \int_{\partial K} q_{K} \cdot n_{K} ϕ_{K} d s = \int_{Γ} [q] \cdot {ϕ} d s + \int_{Γ^{0}} {q} \cdot [ϕ] d s

$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} q_K \cdot n_K \phi_K\,ds=\int_\Gamma [q] \cdot \{\phi\}\,ds + \int_{\Gamma^0} \{q\} \cdot [\phi]\,ds$

这里 $\Gamma$ 是你的边缘和 $\Gamma^0$ 一样没有界限。

现在您的通量是单值的，这意味着您可以放弃通量的跳跃。因此

\sum_{K \in T_{h}} \int_{\partial K} \hat{q} \cdot n_{K} v_{K} d s = \int_{Γ^{0}} \hat{q} \cdot [v] d s + \int_{\partial Ω} \hat{q} \cdot n v d s \sum_{K \in T_{h}} \int_{\partial K} w \cdot n_{K} κ \hat{T} d s = \int_{Γ} [w] \cdot κ \hat{T} d s

$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} \hat{q}\cdot n_K v_K\,ds=\int_{\Gamma^0} \hat{q} \cdot [v]\,ds + \int_{\partial\Omega} \hat{q} \cdot n v\,ds\\ \sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} w\cdot n_K \kappa\hat{T}\,ds=\int_{\Gamma} [w] \cdot \kappa\hat{T}\,ds$

这导致我们对您的代码进行以下修改：

C11 = 1.
qhat = avg(grad(T)) - C11 * kappa*jump(T,n)
qhatbnd = grad(T) - C11 * kappa*T*n

a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
  - kappa*avg(T)*jump(w,n)*dS \
  - kappa*T*dot(w,n)*ds \
  - dot(q,grad(v))*dx \
  + dot( qhat, jump(v,n))*dS \
  + dot( qhatbnd, v*n)*ds

我还没有时间实际尝试这个，所以要注意可能的符号错误等。但我希望这无论如何都会有所帮助。

参考文献： DN Arnold、F. Brezzi、B. Cockburn、LD Marini：椭圆问题的不连续 Galerkin 方法的统一分析SIAM J. Num。肛门, 39 (2002), 1749-1779

是的，我真的错过了一些东西！

现在工作正常。

非常感谢您的帮助！

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