我正在使用异构多尺度方法 (HMM)解决多尺度问题。本质上，我的特定过程使用以下迭代过程：

1. 求解许多局部矩阵系统。
2. 从本地系统的解决方案中计算感兴趣的值。
3. 从本地“感兴趣的值”组装一个全局矩阵系统
4. 求解全局矩阵系统
5. 使用全局矩阵系统的解来形成新的局部矩阵系统。

重复直到满足某些收敛标准。

由于有许多本地（独立）线性方程组，并且多个系统可以放入本地 RAM 内存中，我认为最好将多个“本地”系统加载到每个处理器中并按顺序求解每个系统（请参阅发布的问题）。

我的问题是关于组装和解决全局矩阵系统的最佳策略。在我的特殊情况下，全局矩阵系统足够小，可以完全适应任何处理器的 RAM 内存。此外，局部和全局矩阵在迭代之间不会改变大小。因此，我预见了三种可能的策略之一：

1. 将“感兴趣的值”收集到单个处理器上，并在一个处理器上按顺序组装/求解全局矩阵系统。
2. 将感兴趣的值复制到每个处理器上，并在每个处理器上按顺序组装/求解相同的全局矩阵系统。
3. 假设每个处理器都拥有生成全局矩阵的连续块所必需的“感兴趣的值”，那么我们可以在本地组装全局矩阵的分区，然后并行解决它们。

我可以看到每种方法的一些优点/缺点。在方法 1 中，求解阶段不需要通信，但与根处理器之间的通信可能会成为瓶颈（尤其是在规模上）。与第一种方法相比，方法 2 可能需要更多的处理器间通信来组装全局矩阵，但在求解阶段或随后的局部矩阵组装阶段不需要通信。方法 3 不需要处理器间通信来组装局部或全局矩阵，但在求解阶段需要它。

假设每个本地系统的顺序为$10^3$X$10^3$并且有$10^3$X$10^3$局部矩阵系统。让我们进一步假设全局矩阵系统有大小$10^3$X$10^3$. 在这些假设下，上述三种策略中的哪一种可能会导致全球系统的更快解决？是否有其他全局矩阵的映射策略可能在每次迭代时工作得更快？