计算科学 - 二阶六面体有限元是否需要 8 个高斯点？ - 吾爱随笔录

二阶六面体有限元是否需要 8 个高斯点？

计算科学有限元准确性

2021-12-06 06:28:23

是否可以在不引入非物理模式的情况下获得少于 8 个高斯点的六面体有限元的二阶精度？单个中心高斯点引入了非物理剪切模式，并且与四面体离散化相比，8 个高斯点的标准对称排列代价高昂。

编辑：有人要求方程式。我感兴趣的方程是非线性弹性，无论是动态的还是准静态的。准静态方程是

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

在哪里 $\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ , $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ ，和 $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$ 是超弹性第一 Piola-Kirchoff 应力函数。一个简单的例子是可压缩的neo-Hookean，其中

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

2个回答

就有限元固体力学模拟而言，不使用稳定力就不能使用少于 8 个正交点。如果是不可压缩材料（您的情况），出于准确性目的的最佳解决方案是使用混合配方。您可以参考 Simo 和 Hughes 的书：http: //books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html ?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC 。

相对明显的是，通常每个单元格的正交点数不能少于自由度数。对于 3d 六面体上的三线性元素，有 8 个自由度（每个顶点一个），因此正交点的最小数量也是 8 个。

这是不可逆的，因此完全无用。原因是一个单点求积公式无法区分在求交点处具有相同值的所有线性函数（部分试验空间）；换句话说，对于中点规则，形状函数“x”与函数“0”相同，与函数“-x”相同。换句话说，虽然试验空间具有精确积分的 2 维，但对于中点规则，该空间具有 1 维，即使有两个自由度——这就是非单解空间的定义。）对于中点规则，形状函数“x”与函数“0”相同，与函数“-x”相同。换句话说，虽然试验空间具有精确积分的 2 维，但对于中点规则，该空间具有 1 维，即使有两个自由度——这就是非单解空间的定义。）对于中点规则，形状函数“x”与函数“0”相同，与函数“-x”相同。换句话说，虽然试验空间具有精确积分的 2 维，但对于中点规则，该空间具有 1 维，即使有两个自由度——这就是非单解空间的定义。）

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