庞加莱上半空间模型中的双曲空间看起来很普通$\Bbb R^n$但是角度和距离的概念以相对简单的方式扭曲了。在欧几里得空间中，我可以通过多种方式在球中均匀地采样一个随机点，例如通过生成$n$独立的高斯采样得到一个方向，分别采样一个径向坐标$r$通过均匀抽样$s$从$\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$， 在哪里$R$是半径，设置$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$. 在双曲上半平面中，一个球体恰好仍然是一个球体，只是它的中心不会是欧几里得度量的中心，所以我们可以这样做。

如果我们想根据非均匀分布进行采样，但仍然采用各向同性的方式，例如高斯分布，这似乎并不容易。在欧几里得空间中，我们可以只为每个坐标生成一个高斯样本（这只适用于高斯分布），或者等效地生成一个多维高斯样本。有没有一种直接的方法可以将此样本转换为双曲空间中的样本？

另一种方法可以是首先生成一个方向均匀分布的方向（例如从$n$Gaussian samples）然后对径向分量进行高斯采样，最后生成指定方向的指数图下指定长度的图像。一种变化是只取欧几里得高斯样本并将其映射到指数映射下。

我的问题：

• 在双曲空间中获得具有给定均值和标准差的高斯样本是一种好的和有效的方法？
• 我上面描述的方法是否提供了所需的采样？
• 有人已经计算出公式了吗？
• 这如何推广到其他指标和其他概率分布？

提前致谢。

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我刚刚意识到，即使在统一抽样的情况下，这些问题仍然存在；即使球体是球体，均匀分布也不会由球上的常数函数来描述。