我对数值 PDE 和 ODE 主题的书籍参考建议很感兴趣，特别是以专业数学家的方式对这些方法进行严格分析。在列出数百或数千种不同方法的意义上，它不必非常全面，但我会对至少涵盖指导现代技术的大多数关键概念的东西感兴趣。
我认为将数值线性代数的教科书类比为我比较熟悉的教科书是合适的。我正在寻找与数值微分方程中的稳定性和截断误差有关的东西，因为 Higham 的数值算法的准确性和稳定性是数值线性代数中的稳定性和舍入误差，以及讨论 ODE 和 PDE 中的现代技术的东西，就像 Golub Van Loan 的矩阵计算讨论了线性代数的大多数主要技术类型。
我实际上对数值 ODE 和 PDE 知之甚少。我一直在阅读各种在线笔记，并且我有Randall LeVeque的《普通和偏微分方程的有限差分方法》一书，这本书很清晰，但对我的目的来说不够深入。作为我正在寻找的级别的更具体示例，我希望任何关于椭圆和抛物线方程的部分都假设读者完全熟悉 Sobolev 空间及其嵌入的理论，以及 PDE 的弱解，并使用结果从该理论相当自由地推导有限元等的误差估计。
您不会找到一本系统地涵盖 PDE 的所有重要方法分析的参考资料。PDE 的离散化技术领域至少比您上面提到的任何一个主题都要大一个数量级。对于任何涉及隐式求解的方法，研究离散化而不考虑求解方法（例如，相关的多重网格方法）是一种将自己描绘成“绝望不切实际”的角落的经过验证的真实方法。
想必您熟悉Brenner 和 Scott，有限元方法的数学理论。这是一本研究生水平的教材，虽然它有一些介绍性的内容，但你可以很快得到重要的结果。
对于FEM 中的后验误差分析，一个很好的来源是评论论文，Ainsworth 和 Oden，有限元分析中的后验误差估计，1997 年。
对于有限体积方法，您可能会喜欢 Acta Numerica 论文Morton 和 Sonar，双曲守恒定律的有限体积方法，2007 年。随着 Acta Numerica 论文的发表，这并没有被高度引用。我怀疑这部分是因为 LeVeque 的书非常好，并且因为大多数没有使用过他的书的从业者都熟悉许多原始资料。虽然我不熟悉，但你也可以看看Bouchut, Nonlinear Stability of Finite Volume Methods for Hyperbolic Conservation Laws。
我赞同 Jed 关于在考虑离散化的同时考虑求解器的重要性的观点。这是“更纯粹”的数学家有时无法做到的事情，这对他们非常不利，因为他们正在解决错误的问题。块结构、稀疏模式和构建预处理器的能力往往比自由度数/网格大小等简单的事情重要得多。
Brezzi & Fortin - “混合和混合有限元方法”涵盖了与 Brenner 和 Scott 互补的材料。虽然它已经绝版，但人们真的很喜欢他们的副本，所以如果你不想支付几百美元，你可能不得不从图书馆借它。
Rannacher 等人在 2000 年初的系列论文，例如“有限元方法中后验误差估计的最优控制方法”，提供了比 Ainsworth 和 Oden 的解释更深入和更广泛适用的后验误差估计的理解。书（在我看来）。
Sobolev 空间并不是 PDE 的全部功能空间，尽管您可能会在阅读诸如 Evans 之类的介绍性研究生书籍时获得这种印象。Besov 空间更一般也更漂亮，它迫使你思考如何以及为什么通过控制基本构建块来构建某些函数空间，以提供对振荡、可积性和多尺度结构的约束。一篇关于功能空间主题的不错的“哲学”文章是Terry Tao 的帖子。Triebel 的书（主要是关于 Besov 空间的）“函数空间理论 II”，很棒！Besov 空间和小波之间有很深的联系，因此 DeVore 关于小波的可读性很强的文章很有用。
除了 Jed 的伟大建议（我个人可以保证 Brenner+Scott 是一本很棒的有限元介绍书），Butcher 是一本关于 ODE 数值解的优秀书籍：
http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC
那是我的圣经很长一段时间，直到我的大学图书馆把它召回。
此外，如果您已经对微妙的数学感到满意，您可能会发现 Ern+Guermond 是一本有价值的书
http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC
读过 Ern+Guermond 的几篇论文后，我可以说他们肯定倾向于沉重的形式主义。这些章节或多或少是自包含模数的一些符号，您可能需要翻阅才能获得定义。
对于偏微分方程，与 Ern 和 Guermond 具有相似功能分析风格的书是D. Braess，Finite Elements，剑桥大学出版社，2007 年。作为教科书而不是研究专着，它更容易获得，虽然不太全面。另一方面，它也讨论了应用（主要是在弹性方面）。
关于 ODE，我相信圣经仍然是 Hairer 和 Wanner 的三卷著作（求解 ODE I、求解 ODE II和几何数值积分）。
最后，不要忽视互联网上提供的许多优秀的讲义。