伯恩斯坦多项式和拉格朗日多项式都跨越相同的空间。因此，就一个人可以表示的可能功能而言，使用其中一个或另一个没有区别。但是，如果您正在考虑在有限元方法或插值问题中使用这些作为基函数，则您创建的线性算子的谱属性将取决于您选择作为基的多项式。这可能会导致迭代求解器的收敛性不同。但是，在没有线性代数错误的情况下，您将使用任一基础得到相同的答案。

将此与有限差分运算符进行比较是另一回事。使用多项式将为您提供连续范数的误差近似值。我不太精通有限差分，但我的理解是，您只会在您选择离散化的位置获得误差估计。在这些点之间发生了什么还不清楚。

我在搭配方法中使用伯恩斯坦多项式来解决 ODE 和 PDE 的边值问题。他们很有趣。

某些线性 BVP 的收敛是指数级的，但与 Chebyshev 搭配、Legendre Galerkin 和 Tau 相比稍慢。

这是将收敛速度与一些切比雪夫谱方法进行比较的图。示例问题是线性 BVP：

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

具有同质狄利克雷 BCs，C 是常数$C=-4e/(1+e)^2$.

我也把这个图上传到了figshare。

如果需要，您可以查看我正在编写的代码：

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

这是我写的关于使用 Bernstein 多项式搭配在正方形上求解椭圆BVP 的arxiv 论文。

去年，他们庆祝了伯恩斯坦多项式诞生一百周年——这是一个更有趣的事实。

下面的论文表明，在许多情况下，以 Bernstein 形式表示多项式会导致数值稳定的算法：

RT Farouki，VT Rajan，关于 Bernstein 形式的多项式的数值条件，计算机辅助几何设计，第 4 卷，第 3 期，1987 年 11 月，第 191-216 页，DOI：10.1016/0167-8396(87)90012-4

贝塞尔曲线的控制点靠近曲线，但不一定在曲线上。这与伯恩斯坦多项式近似的情况完全相同，实际上伯恩斯坦多项式是贝塞尔曲线的基础。您可以使用高阶贝塞尔曲线通过噪声点给出的曲线绘制平滑线，由于计算量大，没有人会这样做。实际上，正是由于这个原因，高阶多项式插值很少使用，只有切比雪夫插值偶尔是该规则的例外。

但是，如果我们只讨论低阶多项式插值，那么通过控制点直观地指定贝塞尔曲线是优于其他方法的明显优势。然而，在这方面 NURBS 更胜一筹，但至少贝塞尔曲线是 NURBS 的特例，而伯恩斯坦多项式也是 NURBS 的重要组成部分。