得到一个带有条件数的稠密正定矩阵$c$便宜地，选择一个对角矩阵$D$其对角线由来自的数字组成$[1,c]$（这将是特征值），与$1$和$c$至少选择一次，以及一个向量$u$. 然后通过 Householder 变换应用相似变换来形成矩阵$A:=(I-tuu^T)D(I-tuu^T)$， 在哪里$t=2/u^Tu$.

形成这个矩阵$O(n^2)$操作，计算$v:=Du$,$s:=t^2u^Tv/2$,$w:=tv-su$在$O(n)$操作，然后$A$作为$A=D-uw^T-wu^T$. （如果你选择$u$作为全一向量，所需的乘法次数仅为$O(n)$.)

请注意，CG 的行为很大程度上取决于特征值分布，您可以通过改变$D$.

（添加$\alpha$到任意对称矩阵$A$需要$\alpha$大于最大特征值。这很难计算；所以必须选择$\alpha=\|A\|$, 但是条件数通常会很小，不是 CG 的实际测试用例。）

尝试在矩阵的对角条目上添加一个大数（按矩阵范数的顺序）。这相当于将添加到您的每个特征值，并且应该通过减少最大和最小特征值之间的差距来改善条件数。 $\alpha$$\alpha$

我不确定你会如何只用一个向量来做，但是用两个随机向量和大小产生一个半正定矩阵 其中是轴和平面内的旋转。$x$$\theta$$N$

添加一个固定的正值，并在需要时重新调整。$x$

一种完全不同的方法是这样的：考虑一个随机向量，然后是一个秩一矩阵，其中特征值等于 0，一个严格的正特征值等于与特征向量。它也是对称的。$x$$A=xx^T$$N-1$$\|x\|^2$$x$

要构造一个密集的 SPD 矩阵，请将许多这样的 rank-1 矩阵相加。换句话说，如果你有个向量（例如随机向量），那么 是 SPD，如果并且向量是线性独立的（如果它们不是线性独立的，则是半正定的）。您可以使用 Gram-Schmidt 连续正交化验证您的个向量（或您从随机过程中绘制的第一个个向量）是否是线性独立的，但如果您简单地选择向量。$M$$x_i$