计算条件数（甚至在 2 的因数内近似）似乎与计算因式分解具有相同的复杂性，尽管在这个方向上没有定理。

来自稀疏的 Cholesky 因子$R$对称正定矩阵的，或来自稀疏的$QR$因式分解（隐式$Q$) 的一般方阵，可以通过计算的稀疏逆子集获得 Frobenius 范数中的条件数$(R^TR)^{-1}$，这比计算完整的逆要快得多。（与此相关的是我的论文：Hybrid norms and bounds for overdetermined linear systems, Linear Algebra Appl. 216 (1995), 257-266. http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf )

编辑：如果$A=QR$那么对于任何酉不变的norn，

使用对称矩阵的特征值/特征向量分解或一般矩阵的 SVD 来计算条件数当然很容易，但这些并不是特别快速的方法。

有一些迭代算法可以计算对大多数目的有用的条件数的估计，而无需进行所有计算工作$A^{-1}$. 参见例如condestMATLAB 中的函数。

对于稀疏 Hermitian 矩阵$H$，您可以使用 Lanczos 算法来计算其特征值。如果$H$不是厄米特，您可以通过计算的特征值来计算其奇异值$H^TH$.

由于可以非常快地找到最大和最小特征值/奇异值（很久之前三对角化完成），因此 Lanczos 方法对于计算条件数特别有用。