计算科学 - 可能除以“零”的数值积分 - 吾爱随笔录

我正在尝试整合

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

这是一个简单的转换

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

使用是因为难以用数值近似不正确的积分。然而，这确实导致了评估接近零的新被积函数的问题。由于间隔的长度仅为 1，因此很容易获得适当数量的正交节点（因此可比较的可以做得非常小），但是当积分接近零时我应该考虑什么？ $t = \frac1{x}$ $dt$

在某种程度上，我认为简单地采用是一个好主意，其中是一个小数. 但是，我应该选择什么号码？它应该是机器epsilon吗？除以机器epsilon是一个很好量化的数字吗？此外，如果除法我的机器 epsilon（或接近它）给出一个非常大的数字，那么取将变得更大。 $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

我应该如何解释这一点？有没有办法让这个函数有一个明确定义的数值积分？如果没有，集成该功能的最佳方式是什么？