您主要关心的不是破坏稀疏性 - 转换不一定会破坏它。考虑转换后的特征值问题，它消除了约束$x^Tx = 1$

$$\min_x \frac{x^TAx}{x^Tx} \qquad s.t.\quad Bx = 0$$

考虑一个矩阵$Z$这是零空间的基础$B$， IE$BZ = 0$. 然后，限制$x$在零空间中$B$作为$x = Zy$，特征值问题现在变成了一个无约束的优化问题

$$\min_{y} \frac{y^TZ^TAZy}{y^TZ^TZy}$$

这个问题的最小者是广义特征值问题的最小特征值对应的特征向量

$$Z^TAZ y = \lambda Z^T Z y$$

为了解决这个特征值问题，不必形成$Z^TAZ$并破坏稀疏性（这是您关心的问题）。只需将矩阵向量乘积与$Z^TAZ$，这可以依次完成。如何形成$Zx$? 一种可能性是考虑使用置换矩阵进行分区$P$这样$B_p$等级条件良好$m$， 在哪里$B \in \mathbb{R}^{m\times n}$

$$BP = [B_p, B_n] \qquad Z = P \begin{bmatrix} -B_p^{-1}B_n \\ I \end{bmatrix}$$ 在实践中一个不会反转$B_p$但计算稀疏 LU 分解。一旦你知道如何形成$Zx$，可以使用任何基于 Krylov 的广义特征值特征值求解器（它们的收敛性通常优于幂法）。本文第 6 节（零空间方法）讨论了其他可能性http://mathcs.emory.edu/~benzi/Web_papers/bgl05.pdf

这是实现特征求解器的模板的一个很好的来源 - 你可以选择你最喜欢的http://web.eecs.utk.edu/~dongarra/etemplates/node155.html

没有人回答这个问题，所以让我尝试一下。我不太清楚如何准确地解决这个问题，但这是一种应该有效的方法。

让我们假设你有一个零空间的基础，并且它形成了矩阵的列$Z$， IE，$BZ=0$. 然后考虑特征值问题

$$\begin{array}{rl} \arg\min_{x_\varepsilon} & {x_\varepsilon}^T A {x_\varepsilon} + \frac{1}{\varepsilon} {x_\varepsilon}^T Z^T Z {x_\varepsilon} \\ \mathrm{s.t.} & {x_\varepsilon}^T {x_\varepsilon} = 1 \end{array}$$ 如果你考虑极限$\varepsilon\rightarrow 0$, 那么任何不在零空间中的向量$B$产生一个无限的目标函数，你只会得到你关心的那些特征值。

除此之外，让我指出另一个想法（尽管我对特征谱求解器的数值实现知之甚少，无法真正对此多说）。即，当您计算第二个、第三个等时，$L$矩阵的特征值$A$, 那么这通常写成

$$\begin{array}{rl} \arg\min_{x} & {x}^T A {x_\varepsilon} \\ \mathrm{s.t.} & {x_\varepsilon}^T {x_\varepsilon} = 1 \\ &x^T v_1 = 0 \\ & \vdots \\ &x^T v_{L-1} = 0 \end{array}$$ 换句话说，您尝试在子空间中最小化。这与您想要做的没有什么不同，只是您的子空间不是由先前的特征向量给出$v_1, \ldots, v_{L-1}$但根据你的零空间$Z$.