是的，如果铅笔是确定的，即，如果$A$和$B$是厄米特和$B$是肯定的。然后签名$A-\sigma B$对特征值问题有相同的解释$(A-\lambda B)x=0$就像在这种情况下$B=I$. 这种更一般的结果适用于任何确定的非线性特征值问题$A(\lambda)x=0$. 请参阅我的书的第 5.3 节

Arnold Neumaier，数值分析导论，剑桥大学。出版社，剑桥 2001。

为了$(A-\lambda B)x=0$，我的断言的证明可以从 Jack Poulson 给出的论点中推导出来，注意到$C-\sigma I$和$A-\sigma B$是全等的，因此具有相同的惯性。

特别是，可以直接计算惯性$A-\sigma B$，并且不需要 Cholesky 分解$B$来形成$C$. 确实，如果$B$是病态的，那么数值形成$C$降低惯性测试的质量。

在这种情况下$B$是 Hermitian 和正定的，Cholesky 因式分解$B$， 说$B = L L^H$, 给出

并且可以操纵这个方程来表明

应该清楚的是$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$保持对称性$A$, 也有与铅笔相同的光谱$(A,B)$. 这样，成型后$C$, 通过 Cholesky 分解和双边三角求解, 您可以直接将 Sylvester 惯性定律应用于$C$收集有关铅笔特征值的信息$(A,B)$.

请注意，由于西尔维斯特的惯性定律对于同余变换是不变的，例如，$S \cdot S^H$, 那么矩阵$C$是一致的$A$通过转型$L^{-1} \cdot L^{-H}$， 所以$C$具有相同的惯性$A$. 但是，如果惯性$C-\sigma I$是需要的，对于一些非零移位$\sigma$，那么我们就不能再简单地考虑$A$.