对于稀疏矩阵，通常情况下，虽然矩阵$A$稀疏，$A^{-1}$是稠密的。在这种情况下，Cholesky 或$LU$因式分解$A$更可能是稀疏的（特别是如果$A$重新排序以改进稀疏模式。）在大多数情况下，如果您想利用稀疏性并且对使用迭代算法解决涉及的系统不感兴趣$A$，那么你最好使用矩阵的一些分解而不是显式计算$A^{-1}$.

特别是对于卡尔曼滤波，而不是计算

$S_{k}=(H_{k}P_{k-1,k}H_{k}^{T}+R_{k})^{-1}$

您通常最好使用因式分解$S_{k}^{-1}$. 自从$S_{k}$是对称的并且应该是正定的，您可以使用 Cholesky 分解或$LDL^{T}$分解来做到这一点。你告诉我们你的$H_{k}$矩阵是稀疏的，但你没有告诉我们任何关于是否$R_{k}$是稀疏的或其他结构化的，当然$P$可能非常密集。

集成卡尔曼滤波器 (EnKF) 和各种粒子滤波技术如此流行的一个原因是，对于具有极大状态向量的系统，传统的卡尔曼滤波变得非常困难。EnKF 可以有效地实现非常大的状态向量，如果$R_{k}$是对角线或接近对角线。在数据同化领域工作的人们已经深入处理了这些问题，因此我建议您通过阅读他们如何处理这些问题来开始您的研究。

我们有一个用于集成卡尔曼（和常规卡尔曼）滤波器的稳健算法。它非常适合稀疏矩阵和并行计算，因为它基于正交矩阵并且与平方根或 UD 算法有关。

很高兴能寄出论文

Thomas, SJ, J. Hacker 和 J. Anderson, (2009)： 集成卡尔曼滤波器 Quart J. Royal Met 的稳健公式。社会学杂志，第 135 卷，第 507-521 页，

（出版商的 PDF 是免费的。）

很久以前，我有机会从事降维工作，以处理大集合中的数据。它背后的基本思想是，它通过几个步骤处理数据，以使大多数信息可以从中计算出来。

它对矩阵也很有效，并且被广泛使用。最好的部分是您甚至不需要对其进行编程，因为已经有可用的标准库。Matlab 和 Mathematica 等主要数学工具也直接支持此功能。

有两种主要算法可以实现这一点 - 主成分分析和奇异值分解。

这些算法实际实现的是找到对您的阅读产生显着影响的数据。互联网上充斥着关于这些算法的信息。这将向您展示 Apache 是如何做到的。

很抱歉暂时没有加入讨论 - 但我很乐意发布论文的摘要 - 但也很高兴讨论计算的组织方式与 EnKF 方法的标准 KF 不同的原因