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关于非线性有限差分方程，冯诺依曼的稳定性分析告诉我们什么？

计算科学 pde 有限差分数值分析非线性方程稳定

2021-12-17 08:28:45

我正在阅读一篇论文[1] ，他们使用有限差分方法求解以下非线性方程他们还使用冯诺依曼稳定性分析来分析方案的稳定性。然而，正如作者意识到的那样，这仅适用于线性 PDE。所以作者通过“冻结”非线性项来解决这个问题，即他们用 Uu_x 替换，其中被“认为代表的局部常数值”。

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

u

$u$

所以我的问题有两个：

1：如何解释这种方法，为什么它（不）起作用？

2：我们是否也可以将项项，其中被“认为代表的局部常数值”？ $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

参考

埃尔贝克、JC 和 GR 麦奎尔。“正则化长波方程 I 的数值研究：数值方法。” 计算物理学杂志 19.1 (1975): 43-57。

2个回答

为了详细说明线性化参数，在 uu_x 中，您想假设 u 是局部常数，而不是 u_x，原因有两个：a）u 变化比它的导数更慢，b）在这种特殊情况下，如果您假设 u_x 是局部常数，根据定义，您还假设 u 是局部线性的，这意味着更高的空间导数为零，这不仅会引入额外的近似误差，而且可能意味着您可能会将婴儿与洗澡水一起扔掉，具体取决于您的方程。

你所说的被称为线性化。这是分析非线性偏微分方程的常用技术。所做的是将方程转换为格式，

$u_t+Au=0$

这里 A 是由方程线性化产生的矩阵。

现在回答你的问题，

正如你所想的，它在某种程度上起作用，但在其他程度上不起作用。实用性在于，可以证明线性系统的稳定性，但不容易证明非线性系统的稳定性。因此线性结果扩展到非线性系统。通常，针对特定情况采用不同的方法。例如，

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

这是守恒形式。所以，

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

当以有限体积意义表示时，会限制 u 的演变。

进行替换有什么用处。您将从波动方程形式中删除方程。这意味着解决方案不会表现为波动方程。因此，在稳定性分析中，测试解决方案也必须完全不同且非物理。

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