使用泰勒级数展开$a^x$关于$x=0$并评估少量术语$a=10$：

$$a^x - 1 \approx x\log(a) + \frac{1}{2}x^2\log^2(a)+\cdots.$$

就个人而言，在没有像expm1（另见这个 scicomp.SE 问题）这样的特殊函数的情况下，我会使用 Padé 近似值而不是 Taylor/Maclaurin 级数；通常，对于相同数量的计算工作，它们的适用性略宽一些。

我会讨论$\exp x-1$对于其余的答案，因为$10^x-1=\exp(x\log 10)-1$.

为了说明，这是一个比较的相对误差的图$7$- 阶泰勒多项式

$$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}+\frac{x^7}{5040}$$

和$(4,3)$Padé 近似值

$$\frac{x+\frac{x^2}{14}+\frac{x^3}{42}+\frac{x^4}{840}}{1-\frac{3 x}{7}+\frac{x^2}{14}-\frac{x^3}{210}}$$

订单可以看到类似的图$2p+1$泰勒多项式与$(p+1,p)$Padé 近似值。

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如果您的系统具有$\sinh$功能：使用关系

$\exp x-1=2\exp\left(\frac{x}{2}\right)\sinh\left(\frac{x}{2}\right)$

最后，Higham在数值算法的准确性和稳定性（第二版，第 19 页）中提出了一个巧妙的技巧，最初归功于 Kahan。在那里查看更多详细信息。