在浏览了一些文献后，我正在回答我自己的问题。我会等几天接受，以防其他人有更好的答案。

首先，这个问题等价于求解， 所以唯一需要的平方根部分就是计算，然后是正常的求解。

$$A x = \sqrt{A}b,$$ $\sqrt{A}b$

下面的论文讨论了两种方法来做到这一点，

矩阵的平方根与向量的乘积的数值近似，Allen，EJ 和 Baglama，J 和 Boyd，SK，线性代数及其应用 2000， http://www.sciencedirect.com/science/article/pii /S0024379500000689

第二种方法将问题转换为求解一个 ODE，其在时间的解为。这个 ODE 是， 这可以通过标准技术如前向欧拉来解决。在每个时间步，必须应用于，然后的正则化版本： 必须应用于结果。在我的特殊情况下，应用的方法可以扩展为也应用$t=1$$A^{1/2}b$

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{2}\left(At + (1-t)I\right)^{-1}(I-A)x(t) \\ x(0) = b, \end{cases}$$ $t_k$$(I-A)$$x(t_k)$$A^{-1}$ $$\left(At_k + (1-t_k)I\right)^{-1}$$ $A^{-1}$$(A + \alpha I)^{-1}$. 在其他情况下，应该可以使用为构建预处理器。$A^{-1}$$\left(At_k + (1-t_k)I\right)$

编辑：这种方法的一个主要缺点是 ODE 变得僵硬作为条件数$A$增加。

尼克，你的回答当然是有效的。但是， ，则可以避免 where的额外求解。这是 Henk van der Vorst http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-58333-9_2的一本书章节的主题。$Ax = \tilde{b}$$\tilde{b} = A^{1/2}b$$f(A)x = b$

计算矩阵平方根（或其逆）的其他几个选项可用。正如您提到的解决 ODE 是一种这样的方法。从广义上讲，还有其他一些方法 - 平方根的多项式逼近http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02083211#page-1，平方根的有理逼近http://citeseerx.ist.psu。 edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.131.1310，基于 Krylov 子空间的方法http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/130920587和扩展的 Krylov 子空间方法http://epubs.siam.org/ doi/pdf/10.1137/S0895479895292400。

我只为每种情况提供了一个示例，但是关于计算矩阵平方根的文献非常丰富。您使用的方法的特定选择最终将取决于矩阵和特征值的分布。但是，我倾向于基于轮廓积分的有理近似http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.131.1310因为即使对于病态矩阵，计算 f(A) b 归结为在移动方程组上计算大约十几个解。如果 A 仅以无矩阵形式可用，则它可能不起作用，在这种情况下，扩展 Krylov 方法可能是您最好的选择。