它不依赖于实现，因为这是对矩阵执行的数学运算。但是，它非常依赖于矩阵。

如果您的矩阵是可对角化的并且，那么将某些元素归零会添加一个小的扰动矩阵，因此新的特征值将是（假设矩阵没有太大变化） 中 的差异具有范数以 其中取决于你丢弃的元素的大小，而 是特征向量矩阵的条件数。$A=XDX^{-1}$$E$$X$

$$X^{-1}(A+E)X = D + X^{-1}EX.$$ $D$ $$\|E\| \kappa(X),$$ $\|E\|$$\kappa(X)$

如果您的矩阵是 正常的（即 ），那么是单一的并且，所以这很好。$A$$AA^t=A^tA$$X$$\kappa(X)=1$

如果您的矩阵不正常，则需要其伪谱的概念，定义为集合 一个更容易计算的等效定义是 Trefethen 在 Pseudospectra of Matrices 中对伪谱及其属性进行了很好的调查 （它包括一个很好的矩阵库，其伪谱比它们的谱大得多：人们可能认为伪谱应该是小

$$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid z \text{ is an eigenvalue of $A+E$ with $\|E\| \leq \epsilon$} \}.$$ $$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid \|(zI-A)^{-1}\|\geq \epsilon^{-1} \}.$$ $\epsilon$围绕特征值的 - 大小的磁盘，但这根本不正确）。一般来说，你不能仅仅假设伪谱表现良好并且扰动可以忽略不计。但是，您可以计算并估计产生的误差；您也可以直接计算伪谱。$\kappa(X)$

从某种意义上说，删除小的矩阵元素很好：要么它们无关紧要，新结果与原始结果一样准确，要么它们确实重要，并且您的原始结果与新结果一样不准确。

有一个研究领域称为特征值敏感性分析或特征值扰动分析，它允许您估计小矩阵扰动对特征值和特征向量的影响。用于此的基本技术是对特征值矩阵方程

$$AX = X\Lambda.$$

对于原矩阵的特征值都不同的情况，下面的文档有非常清晰的推导和结果：

迈克·贾尔斯。“用于正向和反向模式算法微分的矩阵导数结果的扩展集合”。https://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/files/NA-08-01.pdf

当特征值不明显时，必须更加小心。请参阅以下演示文稿和论文。

对于具有不同特征值的对称矩阵的特殊情况，受到小扰动的影响，结果很简单，我在这里重现它们。特征值矩阵的导数为 特征向量矩阵的导数为 其中系数矩阵定义为， $A=U \Lambda U^T$$A \rightarrow A + dA$

$$d\Lambda = \text{diag} (U^T dA U),$$ $$dU = UC(dA),$$ $C$ $$C = \begin{cases} \frac{u_i^T dA u_j}{\lambda_j - \lambda_i}, & i=j \\ 0, &i=j \end{cases}$$

Overton 和 Womersley 的以下论文对对称情况（包括二阶导数）进行了很好的敏感性分析。

奥弗顿、迈克尔 L. 和罗伯特 S. 沃默斯利。“用于优化对称矩阵特征值的二阶导数。” SIAM 矩阵分析和应用杂志 16.3 (1995): 697-718。http://ftp.cs.nyu.edu/cs/faculty/overton/papers/pdffiles/eighess.pdf