对于我正在尝试开发的一个愚蠢的屏幕保护程序，我想随机生成一个无散度的二维向量数组，然后用它来生成一个线积分卷积图。我听说$^1$一种方法是产生随机噪声，然后投射出亥姆霍兹-霍奇分解的螺线管分量。为此，我尝试使用以下推理：

一个函数$\mathbf{f}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$有亥姆霍兹-霍奇分解$^2$

$$\mathbf{f}=\mathbf{h}+\nabla\phi+J\nabla\psi$$ 在哪里 $$J=\pmatrix{0&-1\\1&0}$$ 和在哪里$\phi,\psi$是标量函数。现在，假设谐波分量$\mathbf{h}$消失。

在傅立叶空间中，这变为

$$\mathcal{F}\mathbf{f}=-i\mathbf{k}\hat{\phi}-iJ\mathbf{k}\hat{\psi}$$ 我们可以在傅里叶空间上定义一个螺线管投影算子为 $$P=I-\frac{\mathbf{k}\otimes\mathbf{k}}{\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}}$$ 它在其螺线管组件上投射一个功能，通过 $$\mathcal{F}^{-1}P\mathcal{F}\mathbf{f}=J\nabla\psi.$$

然后我尝试在 Mathematica 中实现这一点，将其应用于$21\times 21\times 2$随机数组。首先，我生成随机数组，并将 FFT 应用于其两个组件中的每一个：

arr = RandomReal[{-1, 1}, {2, 21, 21}];
fArr = Fourier /@ arr;

然后我定义$\mathbf{k}$作为数组索引的函数：

k[k1_, k2_] := Mod[{k1 - 1, k2 - 1}, 21, -10]/21;

然后我对傅里叶分量进行投影（奇点在$\mathbf{k}=0$单独使用If语句）：

dat = Transpose[
   Table[If[k1 == 1 && k2 == 1, fArr[[;; , k1, k2]], 
     fArr[[;; , k1, k2]] - 
      k[k1, k2] (k[k1, k2].fArr[[;; , k1, k2]])/(k[k1, k2].k[k1, 
           k2])], {k1, 21}, {k2, 21}], {2, 3, 1}];

然后我iIFFT这两个组件：

projArr = InverseFourier /@ dat;

这给出了一个纯实数数组，我天真地期望结果是$J\nabla\psi$. 我的问题是：

• 结果在什么意义上近似$J\nabla\psi$?

假设 2D 数据的 Helmholtz-Hodge 分解是一项不平凡的任务，因为 Chris Beaumont 的HH_DECOMP例程应该使用 FFT 来执行 Helmholtz-Hodge 分解，但他也说（在代码顶部的注释中）该方法似乎不准确。同样，有更复杂的变分方法来执行亥姆霍兹-霍奇分解$^3$2D 数据，这似乎表明更简单的 FFT 方法在某种程度上是不够的。为什么？FFT 方法有什么问题？假设我的随机噪声谐波分量消失是错误的吗？

(1)：稳定流体，乔斯·斯塔姆。

(2)：使用 Helmholtz-Hodge 分解的向量场中的特征检测，Alexander Wiebel，第 12 页。

(3)：离散多尺度向量场分解，童一英。