计算科学 - 哪些数值方法保持时间反演对称性？ - 吾爱随笔录

哪些数值方法保持时间反演对称性？

计算科学颂时间积分对称

2021-12-14 10:30:09

如果我有一个包含时间反转对称性的物理系统（例如哈密顿量 $H(x,p)=p^2/2m + V(x)$ 和 $V(x)$ 真实）并且我想求解描述该系统的微分方程，我应该使用哪个 ODE 求解器来保持时间反演对称性（例如在数学中）？哪些求解器打破了这种对称性？

编辑：我想扩展这个问题。让我们考虑一个耦合的一阶微分方程系统

{\dot{a}}_{1} (t) = f_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{2} (t) = f_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{3} (t) = f_{3} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) ⋮

$\dot{a}_1 (t) = f_1(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_2(t) = f_2(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_3(t) = f_3(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \vdots$ 如果底层系统包含时间反转对称性，最好使用哪种积分方法？

1个回答

在这种情况下，人们通常想要的是保持时间对称性的离散模拟：即，如果应用时间离散化以在时间上先向前再向后求解，则恢复初始条件。如果该方法在以下替换下是不变的，则这是正确的：

Δ 吨 \to - Δ 吨

$\Delta t \to -\Delta t$

{一个}^{n + j} \to {一个}^{n - j}

$a^{n+j} \to a^{n-j}$

（这里 $a^n$ 是解的数值近似 $a(t^n)$ ，所以第二个替换由第一个隐含）。

我举两个例子来说明。显式欧拉方法

{一个}^{n + 1} = {一个}^{n} + Δ 吨 F ({一个}^{n})

$a^{n+1} = a^n + \Delta t f(a^n)$ 不保持时间对称性；及时向后应用它成为隐式欧拉方法：

{一个}^{n} = {一个}^{n - 1} + Δ 吨 F ({一个}^{n}) .

$a^n = a^{n-1} + \Delta t f(a^n).$ 另一方面，中点（或跳跃式）方法

{一个}^{n + 1} = {一个}^{n - 1} + 2 Δ 吨 F ({一个}^{n})

$a^{n+1} = a^{n-1} + 2\Delta t f(a^n)$ 确实保留了时间反演对称性。保持时间反演对称性的其他众所周知的方法包括梯形方法和（如评论中所述）Verlet 方法。

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