据我所知，该方案仅在于用非均匀模板（至少有一个点移动到位于边界上）替换边界附近的均匀有限差分模板。基本上，您将任意形状的域放在一个盒子中，用统一网格离散化盒子，丢弃在域内没有至少一个邻居的所有网格点，并将剩余的网格点移到域外水平或垂直（以最短者为准），使它们位于边界上。（当然，实际的实现要繁琐得多。）

为了在边界节点旁边的一个节点处获得非均匀模板，类似于（之一）统一模板的推导：通过节点中的二次多项式对（未知）函数进行插值并取第二个衍生物。的一维情况就足够了。然后$x_1=x-h_1,x_2=x,x_3=x-h_2$

$$D^2_h u(x) \approx u(x-h_1)\ell''_1(x) + u(x) \ell_2''(x) + u(x+h_2)\ell''_3(x),$$

其中是节点对应的拉格朗日多项式。计算衍生品收益率$\ell_j=\Pi_{i\neq j}(x-x_i)/(x_j-x_i)$

$$D^2_h u(x) = \frac{2}{h_1(h_1+h_2)} u(x-h_1) - \frac{2}{h_1h_2} u(x) + \frac{2}{h_2(h_1+h_2)} u(x+h_2)$$

如声称的那样。（您也可以使用内插多项式的牛顿形式，这简化了导数的计算，尤其是对于高阶。）在中做同样的事情并对模板求和，得到方程 (4.8.7)。$y$

您可以在 Randy LeVeque 的普通和偏微分方程的有限差分方法（例如，第 9 页）或此博客文章（其中还包含用于计算给定任意和的系数的 NumPy 代码）中找到更详细的示例。这也在 Morton 和 Mayers，偏微分方程的数值解，第 3.4 节中详细讨论。$h_1$$h_2$

您如何处理边界节点取决于您的边界条件。对于狄利克雷条件，您可以像处理均匀网格一样进行操作。对于 Neumann 条件，您使用上述方法（非均匀插值 - 现在同时在和中- 和微分）来近似边界节点处的正常导数以获得局部模板；见 Morton 和 Mayers，第 75 页。$x$$y$