非均匀网格的基本原理是这样的（所有方程都被理解为定性的，即，一般来说是正确的，但没有假装在所有情况下和所有方程或所有可能的离散化中都可以证明是这样的）：

当使用线性有限元求解方程时，通常会有 或者，等价的但形式更适合以下： 然而，这是一个高估。事实上，在许多情况下，人们可以证明错误实际上是形式 这里，是三角剖分的单元格。这表明为了使误差变小，实际上并没有必要减小最大值

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$网格大小。相反，最有效的策略是平衡单元误差贡献 - 换句话说，你应该选择 换句话说，局部网格大小在解粗糙（具有大导数）的情况下应该很小，而在解很平滑的情况下应该很大，并且上面的公式为这种关系提供了定量度量。$h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ $h_K$

用这个例子向你自己证明。在均匀网格上使用分段线性插值在区间 [0,1] 上插值 sqrt(x) 时的最大误差是多少？

在 n 个点中的第 i 个由 (i/n)^s 给出且 s 是精心选择的网格分级参数的网格上进行插值时，最大误差是多少？

非均匀可以导致更高准确度的典型原因是要求解的 PDE 不是的形式，而是。如果您的非均匀网格允许您更准确地表示真实的，您将获得更准确的解决方案。因为通常由材料属性决定，它可能在每种材料中都是恒定的，因此您通常具有分段常数函数，并且应该相应地对齐网格。$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

一个不同的原因可能是在某些区域比在其他区域有更多的变化。可以尝试使用自适应细化的非均匀网格来补偿这一点。（但是，在我看来，还有其他技术可以比非均匀网格更好地处理这种情况。）$u(x,0)$

Kamil，微分方程求解是全局的，插值是局部的。在分段多项式插值中，远离奇异点的精度不会受到奇异点的影响。不幸的是，这根本不适用于求解椭圆方程，例如两点边值问题。奇点会在全局范围内污染近似值。

这里有一些东西可以尝试。用齐次 Dirichlet bcs 在 [0,1] 上求解 D(sqrt(x) Du) D 是微分算子。在 n 点均匀网格上使用有限元或有限差分。与第 i 个点为 (1/n)^1.5 的网格进行比较。请注意，均匀网格的最差误差远离奇异点，并且比分级网格大得多。