查找Arthur Leissa所著的《板块振动》一书。它对方形和圆形板有明确的解决方案。包括具有不同边界条件的近似特征值的表格。

是否具有狄利克雷边界条件（$\phi=0$）在墙上承认一个封闭的形式/精确的解决方案？也许是正弦曲线的张量积，例如$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$. 挑选$k_x/k_y/k_z$明智地实现狄利克雷条件，例如$k_x = n\pi/a$,$k_y = m\pi/b$,$k_z = p\pi/c$, 对于一些整数 (n,m,p)。将该解决方案插入$div \, grad$运算符，然后得到的方程，$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$，应该给你的分离条件$k_x,k_y,k_z$（大概$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$）。

这是矢量波动方程/麦克斯韦方程（电磁学）的标准票价，我对标量 helmholtz 方程没有太多的了解，但我希望它的工作方式非常相似。对于电磁谐振器/VWE，我推荐 Balanis 的“高级工程电磁学”。标量亥姆霍兹方程可能有一个可比较的参考（也许是研究生水平的声学文本？），但我不知道它是什么。

我对双调和方程没有经验。