在我的数值分析课程中，我了解到预处理线性方程组的主要动机是提高 LSE 迭代求解器的收敛速度。

但是，对计算解决方案的精度有影响吗？

我记得关于高斯消元计算解的精度的结果，可以在Golub 和 Van Loan 的《矩阵计算》中找到（第 122 页）。条件数（相对于某些特定范数）确实会影响该算法计算的数值解的精度。

人们可能会期望类似的情况也适用于通过共轭梯度获得的解决方案。我认为我在计算实验中观察到了这一点。当我在未预处理的系统上运行共轭梯度方法（长时间）直到满足某个停止标准时，计算的解决方案仍然显示出高残差。所以我想知道较低的条件数是否不仅会导致较低的运行时间，还会导致计算解决方案中的残差（或错误）较低。请注意，这必然是一个数值稳定性问题，这要求我们使用不精确的算术。

（我在 math.SE 上问过同样的问题，但我认为这个网站可能更合适。）