这个问题不会有灵丹妙药的答案。在某些时候，您只需要接受它并考虑所有情况。我曾经不得不计算一个三角形和一个圆的交点……这太可怕了。由于您的 3D 形状具有某些对称性（例如，它始终是一个三棱柱）有助于极大地缩小可能性。

1. 找出每个点位于平面的哪一侧。
2. 如果所有点都在一侧，则完成。
3. 如果一个点与其他 5 个点被平面隔开，则相交是一个三角形。大概，您有​​连通性信息来告诉您哪些面入射在顶点上，并且您可以计算由于平面-平面相交而产生的 3 条线，然后是相交三角形。最好在相交平面的参数化中完成所有这些操作。
4. 两个点是分开的，要么都在棱镜的同一个三角形面上，要么它们是相对三角形面上的两个对应点。在任何一种情况下，交点都是四边形。
5. 对于三个点，它们可能都是同一个三角形面，也可能只有两个。这里有两种情况，用于生成三角形或六边形。

这些确实是唯一的高级情况，显然需要应用对称减少（在情况 5 中，一个点的情况相当于另一个三角形面上的 2 点的情况）。

我给你的一个建议是为你的形状选择一个健壮的表示，并使用健壮的谓词来执行几何测试。对于平面，最好将其表示为平面上的一个点，以及一个单位法向量。棱镜通过定义正交基（三元组）来表示，其中一个轴与棱镜的挤压方向对齐。让一个顶点在原点，三角形面上的另外两个在三元组的 uv 坐标中表示，然后你只需要存储它的高度，以及它的基顶点的全局偏移量。本质上，我在想

struct plane{
    double p[3]; // point on plane
    double n[3]; // unit normal vector to plane
};
struct TriPrism{
    double basis[9]; // 3x3 orthogonal matrix of local coordinate frame (det = +1)
    // Stored columnwise, first two vectors are in the plane of the triangular face)
    // Last vector is parallel to extrusion direction, call the set [u, v, w]
    double base[3]; // global coordinates of base vertex (where the basis vectors are "rooted")
    double buv[2]; // the uv-coordinates of the second point on the triangular face
    double cuv[2]; // third point on triangular face
    // Assume that the "bottom" triangular face is formed by vertices (a,b,c)
    // with base being a, and (b-a) cross (c-a) directed along vector w (instead of against)
    double h; // height of prism ("top" triangular face is h*w offset from the "bottom" face)
};

这种表示对于四处移动棱镜是稳健的，并且除了最病态的情况外，应该保持较高的相对精度。

至于健壮的谓词，我强烈推荐Shewchuk 的健壮谓词，前提是 您使用普通的浮点数。您将主要使用orient3d.

在表示最终输出多边形方面，选择合适的平面参数化。在我看来，最好的选择是首先选择平面中的正交基组，由平面法向量上的 Gram-Schmidt 确定（参见 geom_maketriad3d 此处）。然后，让该 2D 参数平面的原点为棱镜基点在平面中的投影。这可确保您的参数化实际上植根于生成的多边形附近，以确保有效使用所涉及的浮点数的位。如果可能，请使用此参数化进行所有剩余的计算。

通常，由于这些愚蠢的数值考虑，几何计算充满了危险（在上面的案例 5 中，靠近平面的顶点的轻微错误可能会将结果从 4 边形大幅更改为 6 边形）。我建议您一次处理几个案例，并尝试将结果可视化。我在这里有一个相当简单的查看器程序，具有一种类似后记的输入语言功能。您可以倾倒棱镜的刻面并绘制平面，还可以绘制生成的多边形并目视检查它们是否正确。

附录：我忘了你最初想要交叉多边形的面积。这是微不足道的，但如果您不知道，一旦您拥有定义剖切面中多边形边缘的线条集合，您必须将其转换为顶点表示。由于您从平面和平面的交点构建了交点，因此您应该能够跟踪线的顺序，从而跟踪多边形周围的边的顺序。您只需要计算这些线的连续对的交点即可获得顶点。一旦你有了顶点，就很容易得到面积（参见 geom_polygon_area2d 这里）。如果您完全在剖切面的 uv 坐标中工作，那么您可以将它们直接提供给这样的函数以获取该区域。

我应该补充一点，有一种明显的愚蠢方法，即在切割平面中选择一个合适的大区域，并随机采样点并检查它们是否在棱镜中（这很便宜，因为它是凸面的）。然后，您可以将面积计算为内部点与总点的比率乘以采样区域的面积。如果您真的不关心准确性，那么这可能会更快，但除此之外，分析方法不应该慢很多，尽管它的组合复杂。