F(x) = 0 与 ||F(x)||^2->min

计算科学 参考请求 非线性方程
2021-12-13 11:46:52

在许多应用领域中,需要求解非线性方程组

F(x)=0.
有时,配方
F(x)2min
用来。显然,每个解决方案x^F(x)=0也是第二个问题的解决方案;反之亦然(如果存在解决方案)。

问题是是否可以先验地判断哪种公式更适合给定问题。人们以前做过这方面的工作吗?


一个例子

考虑函数

F(x,y)=(x33xy213x2yy3).
它有三个根x1=(1,0)(下图中绿色),x2=(0.5,3/2)(蓝色),x3=(0.5,3/2)(红色的)。应用牛顿法时F,起点将确定我们收敛到三个解决方案中的哪一个。

在此处输入图像描述

颜色越深,需要的牛顿迭代越多。出现典型的牛顿分形

寻找关键点时(F(x)2)=0,再次用牛顿法,画面有点不同。

在此处输入图像描述

注意点(0,0)是一个临界点F(x)2,但无解F(x)=0.

这突出了一个可能的问题min-公式。

1个回答

您在问题中使用了漂亮的图形,但我认为我在这个答案中相当清楚地回答了这个问题,其中包含另一个工作示例。

总而言之,我们从一个优化问题开始,它有一个独特的解决方案,我们可以保证找到一个方法。我们将其重新表述为一个非线性求根问题,它有一个我们可以在本地识别的独特解决方案,但求根方法(如牛顿)可能会在达到它之前停滞不前。然后,我们将求根问题重新表述为具有多个局部解的优化问题(没有局部度量可用于识别我们不是处于全局最小值)。

一般来说,每次我们将问题从优化转换为求根,反之亦然,我们都会使可用的方法和相关的收敛保证更弱。这些方法的实际机制通常非常相似,因此可以在非线性求解器和优化之间重用大量代码。

如果您想问更具体的问题,请随时完善您的问题。