在许多应用领域中,需要求解非线性方程组
F( x ) = 0。
有时,配方
∥ F( × )∥2→分钟
用来。显然,每个解决方案X^的F( x ) = 0也是第二个问题的解决方案;反之亦然(如果存在解决方案)。
问题是是否可以先验地判断哪种公式更适合给定问题。人们以前做过这方面的工作吗?
一个例子
考虑函数
F( x , y) = (X3- 3 x是的2− 13X2是的-是的3) .
它有三个根X1= ( 1 , 0 )(下图中绿色),X2= ( - 0.5 ,3–√/ 2)(蓝色),X3= ( - 0.5 , -3–√/ 2)(红色的)。应用牛顿法时F,起点将确定我们收敛到三个解决方案中的哪一个。

颜色越深,需要的牛顿迭代越多。出现典型的牛顿分形。
寻找关键点时∇ ( ∥ F( × )∥2) = 0,再次用牛顿法,画面有点不同。

注意点( 0 , 0 )是一个临界点∥F(x)∥2,但无解F(x)=0.
这突出了一个可能的问题min-公式。