让$X_t$成为伊藤进程

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ 在哪里$W_t$是维纳过程。

Milstein 提出了该方程解的数值近似：

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

在哪里

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

根据文献，这可以通过近似转换为无导数方案（称为 Platen 显式 1 阶强方案）：

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

（参见：2001，Kloeden，“随机微分方程数值方法的简要概述”）

任何人都可以帮助理解如何获得偏导数的近似值吗？

谢谢