计算科学 - 抛物线 pde 解到椭圆 pde 解的渐近收敛 - 吾爱随笔录

假设我有抛物线系统

u_{t} = \nabla \cdot (k (x) \nabla u) + f, (x, t) \in Ω \times I

$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$ 具有狄利克雷边界条件

u = g, x \in \partial Ω

$u=g, \quad x\in\partial\Omega$ 和初始条件

u (x, t) = h, t = 0.

$u(x,t)= h,\quad t=0.$

在工程中，我们经常对这个 PDE 的渐近（稳态）行为而不是瞬态行为更感兴趣。因此，我们有时会忽略时间导数项并求解椭圆系统

- \nabla \cdot (k (x) \nabla u) = f, (x, t) \in Ω \times I

$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$ 反而。假设是在无限的时间内，

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c} (x, t) = u_{e l l i p t i c} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$ .

我观察到当时，此限制为真，但我不确定这是否是任意的情况，或者是否有其他必要条件来保证此限制为真。为了使抛物线解收敛到椭圆解，边界条件是否必须渐近收敛到一个常数值？ $f\equiv 0$ $f$

尽管我的问题是在连续情况下提出的，但我也很好奇对于离散情况是否也适用相同的条件。也就是说，假设我使用稳定且一致的有限差分方案来近似和，我应该期望如果和在同一个空间网格和上离散化？ $u_{\mathrm{parabolic}}$ $u_{\mathrm{elliptic}}$

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c}^{f d m} (x, t) = u_{e l l i p t i c}^{f d m} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$

u_{e l l i p t i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$

u_{p a r a b o l i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$

Δ t \to \infty

$\Delta t\rightarrow\infty$