我的挑战是求解以下方程组，这些方程组描述了多孔介质中的气体燃烧：

1) 连续性

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2）达西定律（动量）

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3）状态方程，注意变量温度

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4) 气体的能量方程。

5) 固相能量方程

我已经成功地描述并解决了假设速度、压力和密度恒定的情况，即前三个方程退出。但是解决气体动力学部分被证明是一个问题。

对 1) 应用逆风方案（如此处所建议：连续性方程的良好有限差分）会在时间步长上产生一个非常苛刻的稳定性标准，我被迫将其设为 1e-6 和 1e-2 空间时间步长，即使我采用等温情况，暂时不考虑燃烧。我至少需要 1e-3 来解决能量方程。

前三个方程也可以耦合在一起形成

6)$\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

但仅在等温情况下，所以帮助不大。

我知道人们之前已经解决了 1)-5) 和 6)，但我找不到他们使用的方案的描述。我尝试专门搜索有关多孔介质中可压缩流动的文章，但这些文章都处理更复杂的模型（多相、可变形固体等）并使用非常复杂的求解方法。

有人可以为（1）-（3）提出一个好的 FD 方案，或者说如果像我一样使用逆风，稳定性标准是如何形成的？