我对你为什么说分解给你特征值感到困惑；人们当然可以从中廉价地计算对称矩阵的行列式（和惯性），但它本身并不直接产生特征值，因为不是相似变换，除非。此外，我建议对 SPD 矩阵使用 Cholesky（即）分解而不是。$LDL^T$$L \cdot L^T$$L=I$$LL^T$$LDL^T$

如果事实证明条件数真的很糟糕，那么你的状态仍然不错，因为预处理 SPD 矩阵通常不是很有挑战性，尤其是对角占优矩阵。

编辑：既然你更新了你的问题，我会更新我的回复。

如果您的条件数真的变得像一样高（这样您将丢失大约 10 个十进制数字，正如@aeismail 提到的），对于可以在常规机器上计算密集特征解的矩阵，然后我会首先确保没有发生数字暴行。特别是，我会确保您的自伴随矩阵不会形成为矩阵与其自身的对称乘积，例如，因为的条件数将是条件的平方数字。会好得多。$10^{10}$$A := B B'$$A$$B$$B$

另一方面，通常有一些方法可以廉价地提高解决方案的质量。例如，如果您使用分解来求解线性系统，则可以通过运行少数 GMRES 迭代（或您最喜欢的迭代方法）来“迭代优化”您的解决方案，并将直接求解的解决方案作为初始猜测。你还没有说明你想用你的系统做什么，所以我不能说更多。$LDL^T$

评论关于矩阵的误差界限的问题：指定严格界限有点棘手，但是数值线性代数中有一个启发式规则，即条件数将导致损失大约 base-位精度。因此，例如，条件数意味着您将失去位精度。$M$$\log_b M$$b$$M$$M = 100$$\log_{10}(100) = 2$

还有一种蛮力方法来处理不是非常大的矩阵的病态：您可以尝试提高机器算术的精度。如果您使用 C 或其他受支持的语言，显而易见的选择是GNU GMP 库。但它可以在 Mathematica 中使用 SetPrecision[...] 函数变得更简单（并且计算量更大）。

当然，条件数越多，获得满意结果所需的精度位数就越多。

对于严格但可能较弱的误差范围，您可以参考Nick Higham 的Accuracy and Stability of Numerical Algorithms , 2nd edition。后验误差估计可能只适用于一阶，但可能有用。Don Estep 主要研究偏微分方程的解，但他确实在本演示文稿的幻灯片 72 中给出了一个线性代数示例，并且在本演示文稿的幻灯片 53-56 中给出了一个更加充实的示例。如果误差很小，这些估计可以做得很好，但对于较大的误差往往不那么准确。