计算科学 - 如何获得一维有限差分公式üx xUxx节点间距不均匀？ - 吾爱随笔录

如何获得一维有限差分公式üx xUxx节点间距不均匀？

计算科学有限差分

2021-12-10 13:17:43

我知道如果我有均匀分布的点，我可以使用 $U_{xx}\approx \frac{U_{i-1}-2U_{i}+U_{i+1}}{dx^2}$ .

但是如果我的网格点间隔不均匀，我假设我可以通过以下方式获得有限差分公式：

$D^-[D^+(U)]$ ，在哪里 $D^-$ 和 $D^+$ 是后向和前向差分公式。如果我定义 $h_i=x_{i}-x_{i-1}$ ，那么我想我会得到：

$D^-[D^+(U)] = D^-[\frac{U_{i+1}-U_{i}}{h_{i+1}}] = \frac{\frac{U_{i+1}-U_{i}}{h_{i+1}} - \frac{U_{i}-U_{i-1}}{h_{i+1}}}{h_i}=\frac{U_{i-1}-2U_{i}+U_{i+1}}{h_ih_{i+1}}$ .

但是，我对这个公式有些怀疑。特别是，术语 $\frac{U_{i}-U_{i-1}}{h_{i+1}}$ 可能是错的。对此的任何反馈将不胜感激:)

2个回答

由于梯度的有限差分近似是

u^{'} (x) \approx \frac{Δ u}{Δ x}

$u'(x) \approx \frac{\Delta u}{\Delta x}$ 很明显，在您的原始公式中，它需要是

u^{″} (x) \approx \frac{\frac{U_{i + 1} - U_{i}}{x_{i + 1} - x_{i}} - \frac{U_{i} - U_{i - 1}}{x_{i} - x_{i - 1}}}{\frac{1}{2} (x_{i + 1} + x_{i}) - \frac{1}{2} (x_{i} + x_{i - 1})}

$u''(x) \approx \frac{\frac{U_{i+1}-U_i}{x_{i+1}-x_{i}} -\frac{U_{i}-U_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}} {\frac 12 (x_{i+1}+x_i) - \frac 12 (x_{i}+x_{i-1})}$ 在你的符号中，它等于方便地，而不是偶然地，这简化为统一网格尺寸的众所周知的公式。

u^{″} (x) \approx \frac{\frac{U_{i + 1} - U_{i}}{h_{i + 1}} - \frac{U_{i} - U_{i - 1}}{h_{i}}}{\frac{1}{2} (h_{i + 1} + h_{i})} = \frac{(U_{i + 1} - U_{i}) h_{i} - (U_{i} - U_{i - 1}) h_{i + 1}}{\frac{1}{2} (h_{i + 1} + h_{i}) h_{i} h_{i + 1}} .

$u''(x) \approx \frac{\frac{U_{i+1}-U_i}{h_{i+1}} -\frac{U_{i}-U_{i-1}}{h_{i}}} {\frac 12 (h_{i+1}+h_i)} = \frac{(U_{i+1}-U_i)h_i -(U_{i}-U_{i-1}){h_{i+1}}} {\frac 12 (h_{i+1}+h_i)h_ih_{i+1}}.$

Bengt Fornberg 的这篇论文Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids 为...提供了伪代码......

如果将其打包成一个循环，则可以在任意点集上创建任意度数的微分矩阵。如果你真的需要它，我有一个 Matlab 实现，它可以创建所述矩阵，我可以根据要求提供。

更新

Alexander刚刚指出fdcoeffF(k,xbar,x)，Fornberg 算法的一种实现，它计算模板的权重，用于在点的一组数据上的点上的kth 导数。xbarx

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