首先，如果你有一个不完整的 LU 分解

$A \approx LU$,

你可以写上三角因子$U$作为$U = DR$在哪里$D$是对角线并且$R$是单位直角三角形。如果矩阵$A$是对称正定的，那么$R = L^\top$. 然后，您可以轻松地将不完整的 LU 分解修改为

$A = LDL^\top$,

或诚实的不完全 Cholesky 分解。您确实找到的矩阵应该在机器精度范围内相互转置。虽然这不能回答您寻找一个专门执行并行不完整 Cholesky 的库的问题，但只需稍作修改，它就会为您提供所需的内容。

Euclid 库在并行 ILU 中非常流行；PETSc 与其接口。然而，据我所知，它只适用于 ILU 而不是 IC，因此我在上面离题了。我打算建议您查看Hypre，但在查看他们的用户手册后，他们告诉您只使用 Euclid。

另一个想到的是pARMS（并行代数递归多级求解器）。pARMS 并不完全适用于纯 ILU 分解。它在与代数多重网格不同的多级框架中工作。（ Yousef Saad 的书中有一个很好的解释，这也是并行 ILU 工作原理的一个很好的参考。）尽管如此，它是并行的，您可以将级别数设置为 0 以恢复通常的 ILU 分解。

最后，Trilinos有一个并行的 ILU 预处理器。然而，它只计算每个处理器本地的 ILU 分解，并使用一些重叠来保证该方法是可扩展的。据我所知，这并不是你要找的。

Trilinos 在 AztecOO 和 Ifpack 这两个包中提供了一个不完整的 Cholesky 预处理器。AztecOO 使用水平填充的概念提供基于模式的不完全分解。Ifpack 提供水平填充和基于阈值的跌落容差方法。

这些实现旨在作为子域求解器，作为加法 Schwarz 代数域分解预处理器的一部分，或作为代数多重网格预处理器的局部平滑器。它们可以在多核处理器上并行执行，但前提是您启用了 MPI。在这种情况下，每个 MPI 过程都被分配了一部分矩阵方程，在该部分上将使用不完整的 Cholesky 预处理器。如果您在禁用 MPI 支持的情况下编译 Trilinos，您仍然可以执行不完整的 Cholesky 预处理器，但只能在单个内核上执行。

每个细节都在这里：

http://trilinos.org/oldsite/packages/aztecoo/AztecOOUserGuide.pdf（从第 16 页开始）

http://trilinos.org/oldsite/packages/ifpack/IfpackUserGuide.pdf（从第 15 页开始）

使用 MPI 在多核处理器上获得并行性非常有效，但如果此时您正在运行顺序或基于 OpenMP 的代码，它通常需要对代码进行相当大的重构。

在典型的稀疏矩阵上从不完整的 Cholesky 获得良好的线程并行性能（例如，使用 OpenMP）具有挑战性。对于足够大的问题，分解阶段可以获得合理的加速，例如 8 核上的 5 倍（根据我自己的经验）。但是对于一般稀疏矩阵，求解阶段（您将在每次迭代中调用）很难大幅改善。无论使用多少核心，我很少看到超过 2 倍的改进。

完整的稀疏 Cholesky 算法具有丰富的图论框架，可以组织分解并解决多前（任务）和超节点（数据）并行性，并且可以从使用优化的密集 BLAS 中受益。此外，完全稀疏 Cholesky 的大部分计算时间都用于分解（同样更容易并行化），并且求解通常只调用一次（因为分解已完成）。因此，线程完整的 Cholesky 通常非常有效。

不完全 Cholesky 不具有这些相同的有利属性，这就是为什么线程并行性通常不会转化为不完全分解情况的原因。

如果您已经在使用 PETSc，我相当肯定它具有类似的功能。