计算科学 - ODE：如果雅可比矩阵的特征值为零，如何测量刚度？ - 吾爱随笔录

计算科学颂刚性龙格库塔

2021-12-21 15:52:54

假设您有一个 ODE 系统，其中雅可比矩阵的特征值为零；这告诉你系统的刚度是什么？

2个回答

零特征值并不是特别有害。考虑线性系统

\dot{x} = A x, x (0) = x_{0}

$\dot x = A x, x(0) = x_0$ 那么组件

x (t)

$x(t)$ 与特征值的（大小）成比例衰减

A

$A$ （假设特征值都是非负的），而

x (t)

$x(t)$ 在属于零特征值的特征向量的方向上保持不变。换句话说，这些组件根本不考虑确定系统是否僵硬。

就像线性系统的调节一样，很难将微分方程的时间步长化为单个数字的难度。一般来说，频谱中的一个很大差距通常被认为是“刚度”的公认定义，因为它代表了尺度的分离，通常是来自离散化技术的非物理分离（想到频谱方法）。

鉴于这种理解，您给出的数字是在某些情况下合理的刚度度量。但是，您提出的情况表明它在某些重要情况下会发生故障。例如，离散化双曲问题通常会得到一个非平凡的零空间，而且如果查看频谱（即使使用非常高阶的方法）也没有明显的尺度分离，但问题仍然是“僵硬的”。

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