我要解决的问题是线弹性的位移公式：

$$\nabla \cdot \sigma = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \\ \sigma = \lambda ( \nabla \cdot u ) I + \mu (\nabla \cdot u + \nabla \cdot u^t) \quad \text{in} \quad \Omega \\ u = 0 \quad \text{over} \quad \Gamma_D \\ \sigma \cdot n = g \quad \text{ over } \quad \Gamma_N$$ 和$u$位移矢量，$\sigma$应力张量和$\epsilon$变形张量。

弱公式是标准公式：

$$a(u,v) = \int_{\Omega} \lambda \; \nabla \cdot u \nabla \cdot v + \int_{\Omega} 2 \mu \; \epsilon (u) : \epsilon (v) \\ f(v) = \int_{\Gamma_N} g \cdot v$$

然后是使用 1 或 2 阶的经典拉格朗日函数基础对四面体或六面体网格进行 FEM 离散化。（P1 或 P2 用于四面体网格，Q1 或 Q2 用于六面体网格）

我可以组装线性系统$A x = B$没有困难，但我无法解决不重要的问题。

我已将我的测试用例减少到以下内容：

$$\Omega \; \text{ is the unit cube } \\ u = 0 \quad \text{ for } z = 0 \\ \sigma \cdot n = -0.5 \sin(\pi x) \sin(\pi y) \; e_z \quad \text{ for } z=1$$ 网格是立方体的四面体（或六面体）的常规细分。

我正在使用共轭梯度来求解线性系统。我使用 Jacobi 或 Gauss-Seidel 预处理器进行了测试，但没有它们，CG 求解器会更快。

对于 Q1 函数基础：

• 当有超过 300k 个未知数（100k 个顶点）时，CG 求解器不收敛（几乎恒定残差）

对于第二季度的基础：

• 它在 200k 未知数处开始变慢，并且在它根本不会收敛之后

使用 Jacobi 或 Gauss-Seidel 预处理器不会提高收敛性。

为了比较视图，我使用热方程（标量场）和类似问题（单位立方体，混合边界条件）进行了测试，CG 求解器在 600k 未知数下快速收敛。由于差异主要是标量与矢量场，我想我在矢量问题的预处理中遗漏了一些东西。

具有 200k 未知数（8000 个六角形，9000 个顶点，Q2 基础）和微不足道的几何形状的线性弹性问题似乎很小，但我失败了。而更简单的预处理器并不能改善事情。所以我的问题是：

• 我应该如何选择线性弹性预调节器？
• 解决大型弹性问题（数百万个未知数）的人们如何处理此类问题？

如果您对此主题有任何建议或参考，我将非常感激，谢谢。