当您说“特征分解”时，我认为它是指找到欧拉通量雅可比行列式的特征值和特征向量。这在近似黎曼求解器（例如 Roe 求解器）中是必需的。

然而，有几个黎曼求解器并不明确需要通量雅可比行列式的特征分解。其中包括 Van Leer 的通量矢量分裂、AUSM 系列方案和其他几个方案。例如，这里简要描述了一些 1D 版本： http: //chimeracfd.com/programming/gryphon/fluxmain.html。如果您使用良好的限制器，许多较新的通量矢量分裂方案（例如 AUSM+）可以很好地解决冲击等问题。由于您使用的是WENO，所以应该没问题。您可能需要稍微调整一下 WENO 参数。

对于 2D 和 3D 问题，黎曼求解器本身几乎没有任何区别。本质上，一维黎曼求解器是在垂直于两个单元之间的面的方向上应用的。例如，如果一维方案需要左单元马赫数$M_L = u_L/c_L$, 2D 方案需​​要左单元面-法线马赫数$M_{nL} = \vec{u}_L \cdot \vec{n} / c_L$在哪里$\vec{n}$是计算通量的面的法线。质量通量，而不是$f_{mass} = \rho u$, 变成$f_{mass} = \rho \vec{u}\cdot\vec{n}$， 等等。

您可以使用任何常见的黎曼求解器（Roe、HLLC 等）来执行此操作，而不仅仅是前面提到的那些。例如，请参阅https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/AA214B/CA-AA214B-Ch7.pdf中的最后一部分。它们也在一些书中有所描述，例如 J. Blazek，“计算流体动力学：原理和应用”。

通过特征分解，您将获得更好的结果。这为您的方案带来了逆风特性，这对于双曲线问题来说是最关键的。

如果您使用基于黎曼求解器的逆风通量，则该方案中已经内置了逆风。所以对守恒变量做 WENO 可能没问题。但是如果你使用像 Lax-Friedrich 这样的中心通量，那么最好对特征变量进行 WENO 重构。

WENO 是一种限制器，它试图强制执行一些最大原则或单调性条件。守恒变量没有最大值原理，但特征变量有，至少在局部线性化意义上。因此，如果您不介意额外费用，我建议您始终将 WENO 应用于特征变量。或者至少在您的代码中有两个选项，因此您可以同时尝试两个选项，看看哪一个最适合您的问题。

通常，Riemann 求解器或近似 Riemann 求解器用于求解需要冲击捕获的测试用例，例如这个。它是特征变量上风向非线性方程的延伸，所以我认为这就是特征分解的意思。

二维黎曼问题确实比一维问题复杂得多。例如，请参阅有关多维黎曼求解器的本课程。

然而，对于许多应用程序，单元角处的二维效应被忽略，仅解决沿边缘的一维黎曼问题。这个近似值可能足以解决您的测试用例。

不，它并不总是必要的。所谓的中心方案（如https://en.wikipedia.org/wiki/MUSCL_scheme#Kurganov_and_Tadmor_central_scheme）不使用黎曼求解器。他们搜索的关键字是黎曼求解器免费方案。