摘要：如果您有 FMA，则使用它最便宜且最准确，否则。但是，在我的测试中，差异非常小：在 1065353216 个 32 位浮点数中，第一个公式更好 532509 倍 (0.05%)，更差 382159 倍 (0.035%)，并且没有一个公式的错误比 1 ulp 差，所以显而易见就足够了。sqrt(fma(c, c, 1))sqrt(1+c*c)$0\leq c\leq 1$sqrt(1+c*c)

这是一个很好的观点，维基百科有时可能有点不可靠。解决这些类型问题的一种好方法是使用已经实现hypot的成熟库，例如openlibm（https://github.com/JuliaLang/openlibm）。

引用解释它的源代码注释（https://github.com/JuliaLang/openlibm/blob/master/src/e_hypot.c）：

/* __ieee754_hypot(x,y)
 *
 * Method :                  
 *  If (assume round-to-nearest) z=x*x+y*y 
 *  has error less than sqrt(2)/2 ulp, than 
 *  sqrt(z) has error less than 1 ulp (exercise).
 *
 *  So, compute sqrt(x*x+y*y) with some care as 
 *  follows to get the error below 1 ulp:
 *
 *  Assume x>y>0;
 *  (if possible, set rounding to round-to-nearest)
 *  1. if x > 2y  use
 *      x1*x1+(y*y+(x2*(x+x1))) for x*x+y*y
 *  where x1 = x with lower 32 bits cleared, x2 = x-x1; else
 *  2. if x <= 2y use
 *      t1*y1+((x-y)*(x-y)+(t1*y2+t2*y))
 *  where t1 = 2x with lower 32 bits cleared, t2 = 2x-t1, 
 *  y1= y with lower 32 bits chopped, y2 = y-y1.
 *      
 *  NOTE: scaling may be necessary if some argument is too 
 *        large or too tiny
 *
 * Special cases:
 *  hypot(x,y) is INF if x or y is +INF or -INF; else
 *  hypot(x,y) is NAN if x or y is NAN.
 *
 * Accuracy:
 *  hypot(x,y) returns sqrt(x^2+y^2) with error less 
 *  than 1 ulps (units in the last place) 
 */

因此，如果您可以足够准确地，您将不会出现上溢/下溢），最终结果将是准确的。$1+c^2$$|c|\leq 1$

如果您有一个带有融合乘加 (FMA) 指令的现代 CPU，那么使用fma大多数语言的标准数学库所具有sqrt(fma(c, c, 1))的 .这甚至比hypot的便宜一点。中的错误fma(c, c, 1)最多为$\frac12$具有四舍五入的 ulp，因此您将获得与 hypot 相同的准确度，但有错误$<1$ulp，所以这是最好的。

关于hypot实际使用的公式，我真的不明白他们在做什么。它在$1+c^2$和$2c+(c-1)^2$取决于是否$c\leq\frac12$. 它几乎看起来像是双双算术的一种特殊情况，您可以通过将乘积写成两个数字的和来准确地计算乘积，但我不确定。我想如果他们可以使用 fma，公式会简单得多。在我的测试中，它们最多与平原一样准确$1+c^2$.

如果你尝试会发生什么$1+c^2$直接地？评价的相对误差$\hat w = \mathrm{fl}(1+\mathrm{fl}(c^2))$最多是$\epsilon_1\leq \frac34\mathrm{ulp}$，这给出了错误$\mathrm{fl}(\sqrt{\hat w})$作为$\sqrt{1+\epsilon_1}-1+\epsilon_2 \leq \tfrac78\mathrm{ulp}$，最多是一个 ulp，所以它也很准确，并且和hypot一样好。