Banach 不动点定理非常普遍，只需要一个度量空间。如果地图$x \to A(x)^{-1} b$是全局收缩的，不动点迭代收敛。对于您的问题（如果公式是您描述的问题类别的典型），它可能会线性收敛，具有比基本牛顿稍大的吸引力盆地（没有线搜索、信任区域或延续方法）。

请注意，您仍然可以将系统编写为缺陷校正方法：

$$\begin{align} \tilde A(x_n) \delta x &= - (A(x_n) x_n - b) = -F(x) \\ x_{n+1} &= x_n + \delta x \end{align}$$

（在哪里$\tilde A = A$此时仍然是您的“Picard”线性化）。这在精确算术中具有相同的收敛特性，但在实践中具有一些吸引人的特性：

1. 显式残差$F(x) = A(x) x - b$可用于非线性收敛测试，因此您不必使用长期误诊收敛停滞的临时“我的解决方案没有太大变化”测试。
2. 线性求解的收敛容差通常可以大大放宽，因为您只是在求解缺陷。
3. 在这种情况下应用线搜索或信任区域全球化也更自然。
4. 它具有牛顿法或修改后的牛顿法的结构，因此您可以逐步丰富您的近似$\tilde A$. 如果您将牛顿线性化中的所有项相加，您将得到精确的牛顿迭代。

实际上，我建议从这种 Picard 线性化预处理的无雅可比 Newton-Krylov 方法开始。如果您使用的是 PETSc，只需传递您的 Picard$A$在 的两个插槽中SNESSetJacobian()，然后通过-snes_mf_operator。将收敛速度（应该是二次的）与你看到的（线性）收敛速度进行比较-snes_mf_operator。

您还应该知道，有许多非线性求解方法，最显着的是非线性 GMRES 和准牛顿，它们可以适应近似雅可比行列式，例如您的 Picard 线性化。后一类不受无矩阵有限差分雅可比应用的有限差分误差的影响。

生成的序列$A(x_n)x_{n+1}=b$可以写成形式 $x_{n+1}=F(x_n):=A(x_n)^{-1}b$, 并在本地签订解决方案$x^*$iff 光谱半径$r$矩阵的$F'(x^*)=-A(x^*)^{-1}A'(x^*)x^*$小于一。在这种情况下，$r$给出线性收敛速度. 因此，如果$A(x_n)$条件良好，仅微弱地依赖于$x_n$.

在所有其他情况下，如果您计算一个合适的预条件子可能会好得多$B\approx A(x_0)$然后通过一种标准方法（例如，Broyden 的好方法http://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%27s_method）求解方程组$F(x)=0$， 在哪里$F(x):=B^{-1}(A(x)x-b)$.

您的问题让人想起电子结构方法中的自洽场 (SCF) 程序。虽然这些都是特征值问题，但也有一些相似之处。大多数 SCF 实现使用 DIIS [1] 方法来加速或强制收敛。事实证明，DIIS 适用于几乎所有需要收敛的迭代过程。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/DIIS