这个答案本质上是对@WolfgangBangerth 建议的方法的修复，因为评论中没有足够的空间。

从...开始

$$B^H B x = \lambda A x,$$ 如果我们对对应于非零特征值的特征对感兴趣，那么我们必须有$B^H B x$位于范围内$A$， 和$Ax$位于范围内$B^H B$，也就是说，由于$A$是可逆的， $$B^H B x \in \mathrm{Range}(A) = \mathbf{C}^n,$$ 和 $$Ax \in \mathrm{Range}(B^H B) = \mathrm{span}(B^H).$$ 现在，第一个约束条件很容易满足，但我们必须确保$Ax \in \mathrm{span}(B^H)$, 等价于约束 $$x \in \mathrm{span}(A^{-1} B^H).$$ 那么如果酉矩阵的列$Q$跨越的列$A^{-1}B^{H}$, 我们有 $$x = Q Q^H x$$ 对于对应于非零特征值的任何特征向量。

我们现在准备使用 Wolfgang 方法中的机制：

1. 计算$W := A^{-1} B^H$通过两个（预处理的）Krylov 求解
2. 计算$[Q,R]=\mathrm{qr}(W)$
3. 形式$K := (B Q)^H (B Q)$和$M := Q^H (A Q)$
4. 解决$2 \times 2$特征值问题$K U = M U \Lambda$
5. 形成有趣的全局特征向量，$Z := Q U$.

如果$B$是$2\times n$，那么仅有的两个非平凡特征向量（即对应于两个非零特征值的特征向量）可以写成形成两行向量的线性组合$B$. 我们称这两个向量$b_1, b_2$以便$B=\left[\begin{matrix}b_1^T\\b_2^T\end{matrix}\right]$.

现在，让$P \in {\mathbb R}^{2\times n}$成为投影仪${\mathbb R}^n$跨越的二维空间$b_1,b_2$. 由于我们只对这个空间中的向量感兴趣，我们知道两个非平凡特征向量必须满足$x = P^TPx$. 特征值问题可以写成

$$B^H B P^T P x = \lambda A P^T P x.$$ 即使这个线性系统有$n$行，这实际上只是一个二维问题，因为我们只能确定$x$. 线性系统的其余部分是超定的，但我们可以通过投影到非平凡子空间来选择两个独立的方程： $$P B^H B P^T P x = \lambda P A P^T P x.$$

换句话说，你只需要解决$2 \times 2$特征值问题

$$P B^H B P^T y = \lambda (P A P^T) y.$$ 这很容易解决，因为所涉及的矩阵只有$2\times 2$右边的矩阵可以很容易地用两个矩阵向量和两个向量向量乘积来计算。