计算科学 - 如何集成在任意区域上定义的功能？ - 吾爱随笔录

计算科学离散化正交一体化数字

2021-12-09 19:35:13

假设我有一个紧凑的区域 $S$ （例如一个圆、一个正方形或一些任意多边形）和一个函数 $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ . 我想用数值计算积分

\int_{S} f (\vec{x}) d x \approx \sum_{i} f (x_{i}) Δ x_{i}

$\int_S f(\vec{x})\ \mathrm{d}x \approx \sum_i f(x_i)\Delta x_i$ 函数的结束

S

$S$ .

我的问题是，如何选择树苗点 $x_i$ 用于“复杂”区域，例如圆形或形状不规则形状的边界。我可以简单地用等距的采样点格子覆盖该区域并删除不在该区域内的那些吗？

1个回答

与直接在区域上积分不同，使用散度定理将区域积分替换为边界边缘上的积分通常更方便。

向量函数的三维散度定理 $F$ 可以写

\int_{V} \nabla \cdot F d v = \int_{S} F \cdot d s

$\int_V \nabla \cdot {\bf F} dv = \int_S {\bf F} \cdot ds$ 也就是说，区域体积上的积分可以用边界表面上的积分代替。对于标量函数，

f

$f$ ，在二维上，这可以简化为

\int_{A} \frac{\partial f}{\partial x} d x d y = \int_{C} f d s

$\int_A \frac{\partial f}{\partial x} dx dy = \int_C f ds$ 将面积上的积分与围绕该面积的曲线上的线积分联系起来。

通常，您可能有许多单独的边缘来界定该区域。您对每条边进行积分并对结果求和。每条边可能有不同的几何形状。对于简单的解析曲线（例如直线或圆弧），可以解析地评估积分。对于更复杂的参数形式，需要使用数值积分来评估线积分。

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