给定一个矩阵$M$和一个向量$v$，有没有一种有效的方法来找到归一化的特征向量$M$最接近$v$，因为它具有最大的重叠。更明确地说，一个向量$v$可以这样分解

$$\begin{equation} v = \sum_j \alpha_j u_j, \end{equation}$$ 在哪里$u_j$是的特征向量$M$. 我希望找到它的子集$\alpha_j = v \cdot u_j$是最大的，没有解决完整的特征问题。

特别是我对 Hermitian 矩阵感兴趣，通常是对称的并且通常是稀疏的。高效我的意思是我应该能够找到$R<N$的特征向量$N \times N$与对角化整个矩阵然后排序相比，具有最大重叠的矩阵具有更好的缩放比例。

我认为这是一个有趣的问题，因为所有算法（至少我知道）都是通过利用主要特征值的属性来工作的 - 矩阵的多个应用程序投影到具有该特征值的特征向量上。通过移位/反转，可以选择哪个应该是主要的特征值。因此，似乎这些算法从根本上不能只挑选出特定的特征向量，而只能挑选出特征值。我想知道是否甚至可以选择特定的特征向量。

请注意，三年前在数学 stackexchange 上和两年前在这个 stackexchange 上提出了这个问题，但没有答案：

https://math.stackexchange.com/questions/692468/find-the-eigenvector-with-maximum-overlap ,

计算给定向量的特征向量分量

解决方案（2019 年 1 月 31 日添加）------------------------------------------- ------------------

感谢 demaregee 指点我这篇论文

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.66.245104

它使用 Jacobi-Davidson alogirthm 的变体为该问题提供了一个很好的解决方案。

基本思想是考虑投影的特征问题

$$\begin{equation} V^\dagger M V c = \theta c, \end{equation}$$ 在哪里$V$是一个$N\times K$矩阵，其中列是跨越“测试空间”的正交向量，以及$u = Vc$是向量的近似值。那么问题是如何选择和更新测试空间，直到 u 收敛到正确的特征向量。

让$u$成为我们目前最好的解决方案和$V$我们的测试空间。然后我们求解校正方程

$$\begin{equation} (M - \theta I) z = -r, \qquad r = (1 - VV^\dagger)(M - \theta I)u, \end{equation}$$ 对于校正向量$z$， 在哪里$\theta$是我们当前对特征值的近似值，并且$u$目标向量的当前近似值。然后我们正交化$z$到$V$，归一化，然后扩展测试空间$V \rightarrow [Vz]$.

然后我们解决投影的特征问题并采取解决方案$u_j = Vc_j$ 与$v$作为下一个近似值$u$并更新对应的特征值$\theta$. 我们从作为单个向量的测试空间开始$V = v$，我们要定位的向量，整个过程不断重复，直到$\|(M - \theta I)u \| < \epsilon$，其中是我们选择的准确度。$\epsilon$

通过添加限制测试空间中向量数量的重新启动，可以使算法更加复杂。我们还可以通过从问题中投影出所有收敛向量来定位多个特征向量。